Математика. Курзина В.М - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

78
3.5. Производная
Производной
от функции )(
x
f
y
=
по аргументу
x
называется ко-
нечный предел отношения приращения функции
f
∆
к приращению аргу-
мента
x
∆ при стремлении последнего к нулю:
x
y
y
x
∆
∆
=
′
→∆ 0
lim , или
x
xfxxf
xf
x
∆
−
∆
+
=
′
→∆
)()(
lim)(
0
.
Производную функции также обозначают
dx
dy
и y
&
. Для уточнения
переменной, по которой дифференцировали функцию, для производной
применяют обозначение
x
f
′
.
Значение производной в точке
0
x
равно тангенсу угла наклона каса-
тельной к графику функции в этой точке к оси абсцисс.
Пример 3.6. Найдём по определению производную функции .
x
y =
.11limlimlim
000
==
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
′
→∆→∆→∆ xxx
x
x
x
xxx
x
Процесс отыскания производной называют
дифференцированием
функции.
Таблица производных
1. .0=
′
C 5. .cos)(sin xx
=
′
2.
.)(
1−
=
′
nn
nxx
6.
.sin)(cos xx −
=
′
3. .ln)( aaa
xx
=
′
7. .
1
1
)(arcsin
2
x
x
−
=
′
4.
.
ln
1
)(log
ax
x
a
=
′
8. .
1
1
)arctg(
2
x
x
+
=
′
Пример 3.7. Пользуясь таблицей производных, найдём производную
линейной функции:
.111
011
=
⋅
=
⋅
=
′
−
x
x
x
В частности,
xx
ee =
′
)(
и .
1
)(ln
x
x =
′
Для производных обратных тригонометрических функций полезно
знать, что
)(arcsin
1
1
)(arccos
2
′
−=
−
−=
′
x
x
x
, 
                                           78

                                     3.5. Производная

     Производной от функции y = f (x) по аргументу x называется ко-
нечный предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргу-
мента ∆ x при стремлении последнего к нулю:

                 ∆y                          f ( x + ∆ x) − f ( x)
       y′ = lim      , или f ′( x) = lim                             .
          ∆x → 0 ∆ x                   ∆x →0           ∆x
                                                               dy
     Производную функции также обозначают                            и y& . Для уточнения
                                                               dx
переменной, по которой дифференцировали функцию, для производной
применяют обозначение f x′ .
     Значение производной в точке x0 равно тангенсу угла наклона каса-
тельной к графику функции в этой точке к оси абсцисс.
     Пример 3.6. Найдём по определению производную функции y = x.
                                   x + ∆x − x             ∆x
                       x′ = lim                  = lim        = lim 1 = 1.
                            ∆ x →0     ∆x          ∆ x →0 ∆ x   ∆ x →0

     Процесс отыскания производной называют дифференцированием
функции.
                                   Таблица производных

      1. C ′ = 0.                                       5. (sin x)′ = cos x.
      2. ( x n )′ = nx n−1.                            6. (cos x)′ = − sin x.
                                                                            1
      3. (a x )′ = a x ln a.                           7. (arcsin x)′ =           .
                                                                                2
                                                                          1− x
                           1                                             1
      4. (log a x)′ =          .                       8. (arctgx)′ =         .
                        x ln a                                        1 + x2

      Пример 3.7. Пользуясь таблицей производных, найдём производную
линейной функции:
                                   x′ = 1 ⋅ x1−1 = 1 ⋅ x 0 = 1.
                                              1
      В частности, (e x )′ = e x и (ln x)′ = .
                                              x
      Для производных обратных тригонометрических функций полезно
знать, что
                                            1
                    (arccos x) ′ = −              = −(arcsin x) ′ ,
                                                2
                                         1− x

Страницы