Математика. Курзина В.М - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

79
.)arctg(
1
1
)arcctg(
2
′
−=
+
−=
′
x
x
x
Правила дифференцирования функций
1.
.)( fCCf
′
=
′
2. .)( gfgf
′
±
′
=
′
±
3. .)( gfgfgf
′
+
′
=
′
⋅
4.
.
2
g
gfgf
g
f
′
−
′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
5. Если )(
g
f
y = , а )(
x
g
g
=
, то ))((
x
g
f
y
=
− сложная функция и
справедливо равенство
xg
gfxgf
′
⋅
′
=
′
))((( − правило дифференцирования сложной функции.
Упражнения
Исходя из определения, найти производные функций:
1.
23
32 xxy += . 2. 375
2
+−= xxy . 3. .108
24
+−= xxy
4.
xy = . 5.
32
xy = . 6.
x
x
y 2ctg +−= .
7. .cos3sin4
x
x
y += 8. .sin
2
xxy += 9. .sin5cos2
x
x
y −=
10.
.
12
1
+
=
x
y 11.
.
87
1
−
=
x
y
12. .5
2
x
y =
13. Доказать, что функция
6+= xy непрерывна, но не дифферен-
цируема в точке .6−
=
x
14. Доказать, что функция
1
−
=
xy непрерывна, но не дифференци-
руема в точке .1=
x
15. Найти точки, в которых функция
2
1
+
=
x
y не дифференцируема. 
                                                  79

                                                   1
                              (arcctgx)′ = −           = −(arctgx)′.
                                                1 + x2

                            Правила дифференцирования функций

       1. (Cf )′ = Cf ′.

       2. ( f ± g )′ = f ′ ± g ′.

       3. ( f ⋅ g )′ = f g′ + fg ′.

               ′
           ⎛f⎞    f ′g − fg ′
       4. ⎜⎜ ⎟⎟ =       2
                              .
            g
           ⎝ ⎠        g

     5. Если y = f (g ) , а g = g (x) , то y = f ( g ( x)) − сложная функция и
справедливо равенство
       ( f ( g ( x))′ = f g′ ⋅ g ′x − правило дифференцирования сложной функции.

                                           Упражнения

       Исходя из определения, найти производные функций:

1. y = 2 x 3 + 3 x 2 .              2. y = 5 x 2 − 7 x + 3 .           3. y = x 4 − 8 x 2 + 10.

4. y = x .                          5. y = 3 x 2 .                     6. y = −ctgx + 2 x .

7. y = 4 sin x + 3 cos x.           8. y = x 2 + sin x.                9. y = 2 cos x − 5 sin x.

             1                                    1                                2
10. y =           .                 11. y =             .               12. y = 5 x .
          2x +1                                7x − 8

     13. Доказать, что функция y = x + 6 непрерывна, но не дифферен-
цируема в точке x = −6.
     14. Доказать, что функция y = x − 1 непрерывна, но не дифференци-
руема в точке x = 1.
                                              1
     15. Найти точки, в которых функция y =      не дифференцируема.
                                             x+2

Страницы