Математика. Курзина В.М - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

83
130.
.ln
x
xy =
131.
.sin2
)1(
xy
xx +
=
132.
.
arccos x
xy =
133.
.ln xy
x
=
134.
.cos
sin x
xy =
135.
.
arctgx
xy =
136.
.sin
x
xy =
137.
.)(
sin xx
ey =
138. ].1)cos)[ln(sincossin(
−
−
−=
x
x
x
x
x
x
y 139. .2
sin
xx
xx
xy +=
140.
xy = . 141. xy ln= . 142. xexxxey
xx
2cos)2cos2(sin
3
−+= .
143.
xy cos= . 144. ).1ln( −−= xxx
e
x
y
x
x
145.
1)1(
log2
2
++
⋅=
x
x
x
eey .
146.
.
ln/1 x
xy =
147.
.log
x
x
xy =
148.
xy
x
sinlog
2
=
. 149.
5
xxy
x
⋅=
−
.
150.
xx
xx
ee
ee
y
22
22
−
−
+
−
=
. 151.
2
tgln
x
y = . 152.
xy cosln
=
. 153. .7
cosln x
y =
154. )5lnlnlnln2(lnln
−
+=
x
x
x
y . 155. xy sinln
=
. 156. .8
lnsin xx
y =
157.
x
x
x
x
y
3arctg
125
125
ln
2
2
+
−
+
= . 158.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
42
tgln
π
x
y . 159.
xx
xy
ln
5= .
Дифференцирование неявных функций
Функция, заданная уравнением 0),(
=
y
x
F , называется неявно за-
данной функцией
. Продифференцировав обе части уравнения по
x
, полу-
чим уравнение первой степени относительно производной функции
y
′
. Из
него находится производная неявной функции.
Пример 3.8. Найдём производную функции y , заданной уравнением
012
22
=+ xyyx .
Продифференцировав уравнение, получим уравнение для производ-
ной:
0121222
22
=
′
++
′
+ yxyyyxxy .
Следовательно,
x
y
xyx
xyy
xyx
yxy
y =
+
+
=
+
+
=
′
)6(2
)6(2
122
122
2
2
или
.0
=
−
′
yxy 
                                                       83

130. y = ln x x .        131. y = 2 x ( x+1) sin x.             132. y = x arccos x .      133. y = ln x x.

134. y = cos x sin x .           135. y = x arctgx .         136. y = sin x x .         137. y = (e x ) sin x .

                                                                                                  x         x
138. y = ( x sin x − x cos x)[ln(sin x − cos x) − 1].                           139. y = 2 x + x sin x .

140. y = x .           141. y = ln x .                 142. y = xe 3 x (sin 2 x + cos 2 x) − e x cos 2 x .

                                     xx                                                       2
143. y = cos x .             144. y = x ( x − x ln x − 1).             145. y = 2e ( x +1) ⋅ log x e x +1 .
                                     e

146. y = x1/ ln x .    147. y = log x x x .            148. y = log         sin x .     149. y = x − x ⋅ x 5 .
                                                                       x2


            e 2 x − e −2 x                             x
150. y =                     .      151. y = ln tg       .      152. y = ln cos x . 153. y = 7 ln cos x.
           e 2 x + e −2 x                              2

154. y = ln ln x(2 ln x + ln ln ln x − 5) .             155. y = ln sin x .             156. y = 8sin x ln x.

            25 x 2 + 1 arctg3 x                                ⎛x π ⎞
157. y = ln            +        .                158. y = ln tg⎜ + ⎟ .                  159. y = 5 ln x x x .
            25 x 2 − 1    x                                    ⎝2 4⎠

                                 Дифференцирование неявных функций

      Функция, заданная уравнением F ( x, y ) = 0 , называется неявно за-
данной функцией. Продифференцировав обе части уравнения по x , полу-
чим уравнение первой степени относительно производной функции y ′ . Из
него находится производная неявной функции.
      Пример 3.8. Найдём производную функции y , заданной уравнением
x 2 y 2 + 12 xy = 0 .
        Продифференцировав уравнение, получим уравнение для производ-
ной:
                       2 xy 2 + 2 x 2 yy ′ + 12 y + 12 xy ′ = 0 .
        Следовательно,
                            2 xy 2 + 12 y 2 y ( xy + 6) y
                        ′
                       y = 2                =               =
                            2 x y + 12 x 2 x( xy + 6) x
или
                                 y ′x − y = 0.

Страницы