Математика. Курзина В.М - 85 стр.

                                                          85

                Дифференцирование функции, заданной параметрически

         Для функции, заданной параметрически системой уравнений

                                                          ⎧ x = ϕ(t );
                                                          ⎨
                                                          ⎩ y = ψ (t ),
производная равна
                                                               yt′ ϕ′t
                                                    y ′x =        = .
                                                               xt′ ψ ′t

     Пример 3.9. Функция задана параметрически: x = cos t ; y = sin t.
Производная функции равна
                                  cos t
                          y ′x =         = −ctg t.
                                 − sin t

                                                   Упражнения

         Найти производную по переменной x следующих функций:

   ⎧ x = 3 cos t ;               ⎧ x = cos t sin t ;                ⎧ x = t cos t ;            ⎧ x = t + sin t ;
1. ⎨                          2. ⎨                               3. ⎨                       4. ⎨
   ⎩ y = 3 sin t.                ⎩ y = cos t + sin t.               ⎩ y = t sin t.             ⎩ y = t − cos t.

   ⎧ x = t ln t ;                ⎧⎪ x = te −t ;                     ⎧⎪ x = e 2t sin 4t ;        ⎧ x = t 2 tgt ;
5. ⎨       2
                              6. ⎨                               7. ⎨                        8. ⎨
   ⎩ y = t + ln t.                ⎪⎩ y = te t .                      ⎪⎩ y = e 4t cos 4t.        ⎩ y = tctgt.

   ⎧     ⎛2           ⎞
   ⎪ x = ⎜     t  + 1 ⎟t ;  ⎧ x = arccos t ;                       ⎧ x = ln t ;                ⎧⎪ x = t 3 + 5;
9. ⎨     ⎝ 5          ⎠ 10. ⎨                                  11. ⎨                       12. ⎨
   ⎪            t           ⎩ y = arcsin t.                        ⎩ y = 1 / t.                 ⎪⎩ y = t −2 − 2.
   ⎩ y =   t e    .

    ⎧⎪ x = te t +1 ;                ⎧⎪ x = sin 2 t ;               ⎧ x = ln(3t + 4);               ⎧⎪ x = t sin t ;
13. ⎨                           14. ⎨                          15. ⎨                           16. ⎨
     ⎪⎩ y = t 2 e1−t .               ⎪⎩ y = cos 2 t.               ⎩ y = ln(9t + 12).               ⎪⎩ y = t cos t .

    ⎧⎪ x = t 3 ln t ;               ⎧⎪ x = 2t ⋅ 53t ;              ⎧⎪ x = t 3 − ln t ;         ⎧⎪ x = t 2 − t ;
17. ⎨                           18. ⎨                          19. ⎨                       20. ⎨
     ⎪⎩ y = t 5 ln(1 / t ).          ⎪⎩ y = 3t ⋅ 5 2t .             ⎪⎩ y = 6 t ln t.            ⎪⎩ y = t + 1.