Математика. Курзина В.М - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

88
3.7. Исследование функций
Теорема Ферма.
Если дифференцируемая на промежутке ),( ba
функция )(
x
f
y = достигает наибольшего или наименьшего значения во
внутренней точке
0
x этого промежутка, то производная функции в этой
точке равна нулю:
.0)(
0
=
′
xf
Теорема Ролля. Если функция )(
x
f
y
=
непрерывна на отрезке
],[ ba , дифференцируема в интервале ),( ba , и )()( b
f
a
f
=
, то в интервале
),( ba найдётся хотя бы одно значение c
x
=
, при котором
.0)( =
′
cf
Теорема Лагранжа. Если функция )(
x
f
y
=
непрерывна на отрезке
],[ ba , дифференцируема в интервале ),( ba , то в интервале ),( ba найдётся
хотя бы одно значение c
x
= , при котором
).)(()()( abcfafbf
−
′
=
−
Теорема Коши
. Если функции )(
x
f
и )(
x
g
непрерывны на отрезке
],[ ba и дифференцируемы в интервале ),( ba , причём 0)( ≠
′
xg , то в интер-
вале ),( ba найдётся хотя бы одно значение c
x
=
, при котором
,
)(
)(
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
где .bca <<
Формула Тейлора. Функция )(
x
f
, дифференцируемая 1+n раз в
некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в ви-
де суммы многочлена n-й степени и остаточного члена
n
R :
,)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
)(
2
n
n
n
Rax
n
af
ax
af
ax
af
afxf +−++−
′′
+−
′
+=
где
.,)(
)!1(
)(
1
)1(
xcaax
n
cf
R
n
n
n
<<−
+
=
+
+
Правило Лопиталя. Если функции )(
x
f
и )(
x
g
дифференцируемы
в некоторой окрестности точки
0
x
и
0)(
≠
′
xg
, причём частное )(
/
)(
x
g
x
f
в
точке
0
x является неопределённостью вида 0/0 или
∞
∞
/
, то 
                                                   88

                                    3.7. Исследование функций

      Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке (a, b)
функция y = f (x) достигает наибольшего или наименьшего значения во
внутренней точке x0 этого промежутка, то производная функции в этой
точке равна нулю:
                                 f ′( x0 ) = 0.

        Теорема Ролля. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке
[a, b] , дифференцируема в интервале (a, b) , и f (a) = f (b) , то в интервале
(a, b) найдётся хотя бы одно значение x = c , при котором f ′(c) = 0.
        Теорема Лагранжа. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке
[a, b] , дифференцируема в интервале (a, b) , то в интервале (a, b) найдётся
хотя бы одно значение x = c , при котором

                                        f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).

       Теорема Коши. Если функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы в интервале (a, b) , причём g ′( x) ≠ 0 , то в интер-
вале (a, b) найдётся хотя бы одно значение x = c , при котором

                                           f (b) − f (a )      f ′(c)
                                                          =           ,
                                           g (b) − g (a )      g ′(c)

где a < c < b.
      Формула Тейлора. Функция f (x) , дифференцируемая n + 1 раз в
некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в ви-
де суммы многочлена n-й степени и остаточного члена Rn :

                             f ′(a )            f ′′(a )                     f ( n ) (a)
         f ( x) = f (a ) +           ( x − a) +          ( x − a ) 2 + ... +             ( x − a ) n + Rn ,
                               1!                  2!                            n!
         f ( n+1) (c)
где Rn =              ( x − a ) n+1 , a < c < x.
          (n + 1)!

      Правило Лопиталя. Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы
в некоторой окрестности точки x0 и g ′( x) ≠ 0 , причём частное f ( x) / g ( x) в
точке x0 является неопределённостью вида 0/0 или ∞ / ∞ , то

Страницы