Математика. Курзина В.М - 89 стр.

                                               89

                                         f ( x)        f ′( x)
                                lim             = lim          ,
                                x → x0   g ( x) x → x0 g ′( x)

если предел в правой части этого равенства существует.
      Если частное от деления производных в точке x0 является неопреде-
лённостью, следует перейти к отношению вторых производных и т. д.
      В случае неопределённости вида 0 ⋅ ∞ или ∞ − ∞ следует алгебраи-
чески преобразовать данную функцию так, чтобы привести её к неопреде-
лённости вида 0/0 или ∞ / ∞ и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
      В случае неопределённости вида 0 0 или ∞ 0 или 1∞ следует проло-
гарифмировать данную функцию и найти предел её логарифма.
                                                  6x −5x
      Пример 3.11. Найти предел lim                         .
                                            x →∞     x2
      Решение. Имеет место неопределённость вида ∞ / ∞ . Применим пра-
вило Лопиталя, получаем:
                                    6x −5x             6 x ln 6 − 5 x ln 5
                              lim              = lim                       .
                              x →∞     x2        x →∞          2x
      Вновь имеет место неопределённость вида ∞ / ∞ , поэтому применяем
правило Лопиталя ещё раз, получаем:
                                                                      ⎛
                                                                   x ⎜⎛ 6 ⎞
                                                                             x             ⎞
                                                                 5 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ln 2 6 − ln 2 5 ⎟
                                                                      ⎜⎝ 5 ⎠               ⎟
     6 x ln 6 − 5 x ln 5         6 x ln 2 6 − 5 x ln 2 5              ⎝                    ⎠
 lim                     = lim                           = lim                               =∞
x →∞         2x            x →∞             2               x →∞               2


     Функция f (x) называется возрастающей в точке x0 , если при лю-
бом достаточно малом приращении аргумента ∆x , выполняется условие

                           f ( x0 − ∆x) < f ( x0 ) < f ( x0 + ∆x) .

     Функция f (x) называется убывающей в точке x0 , если при любом
достаточно малом приращении аргумента ∆x , выполняется условие

                           f ( x0 − ∆x) > f ( x0 ) > f ( x0 + ∆x) .

                  Признаки возрастания и убывания функции

       Если f ′( x0 ) > 0 , то функция f (x) возрастает в точке x0 .
       Если f ′( x0 ) < 0 , то функция f (x) убывает в точке x0 .