Математика. Курзина В.М - 90 стр.

                                       90

                            Экстремумы функции

          Локальным максимумом функции f (x) называется её значение
 f ( x0 ) , которое удовлетворяет неравенству f ( x0 ) ≥ f ( x) для всех точек из
окрестности точки x0 . Точка x0 называется точкой максимума функции.
          Локальным минимумом функции f (x) называется её значение
 f ( x0 ) , которое удовлетворяет неравенству f ( x0 ) ≤ f ( x) для всех точек из
окрестности точки x0 . Точка x0 называется точкой минимума функции.
          Максимум или минимум функции называется экстремумом функ-
ции, а точка, в которой он достигается − точкой экстремума функции.
          Необходимое условие экстремума. Если функция f (x) в точке x0
имеет экстремум, то производная f ′( x0 ) равна нулю или не существует.
          Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не
существует называются критическими точками функции.
          Первое достаточное условие экстремума. Если x0 − критическая
точка функции, и производная функции в точках левее и правее x0 имеет
разные знаки, то x0 − точка экстремума функции. Когда знак производной
при замене точки слева на точку справа от x0 меняется с "+" на "−" , кри-
тическая точка x0 − точка максимума функции, а при смене знака произ-
водной с "−" на "+" критическая точка x0 − точка минимума функции.
          Второе достаточное условие экстремума. Если f ′( x0 ) = 0 , то при
 f ′′( x0 ) > 0 у функции f (x) в точке x0 − минимум, а при f ′′( x0 ) < 0 − мак-
симум.
          Для определения наибольшего (наименьшего) значения функции
 f (x) на отрезке [a, b] нужно из значений функции на границах отрезка и в
критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее
(наименьшее).
                                 Точки перегиба

        График функции y = f (x) называется выпуклым в интервале (a, b) ,
если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого
интервала. График функции y = f (x) называется вогнутым в интервале
(a, b) , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке
этого интервала.
        Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции.
Если f ′′( x) < 0 в интервале (a, b) , то график функции является выпуклым в
этом интервале; если же f ′′( x) > 0 в интервале (a, b) , то график функции
является вогнутым.