Математика. Курзина В.М - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

96
Дифференциал функции
Полным приращением функции ),(
y
x
f
u
=
в точке ),(
y
x
M
называ-
ется разность ),(),(
y
x
f
y
y
x
x
f
u
−
∆
+
∆+
=
∆ , где
x
∆
и
y
∆
− произволь-
ные приращения аргументов.
Полным дифференциалом функции ),(
y
x
f
u
=
называется главная
часть полного приращения u
∆ , линейная относительно приращений аргу-
ментов
x
∆ и
y
∆ , т. е.
y
B
x
A
du
∆
+
∆= .
Полный дифференциал функции ),(
y
x
f
u
=
вычисляется по формуле
dy
y
u
dx
x
u
du
∂
+
∂
= .
Аналогично, полный дифференциал функции трёх переменных
),,( z
y
x
f
u = вычисляется по формуле
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
du
∂
+
∂
+
∂
=
.
Частные производные высших порядков
Частными производными второго порядка
от функции
),(
y
x
f
u = называются частные производные от её частных производных
первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
),(
2
2
yxf
x
u
x
u
x
xx
′′
=
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
; ),(
2
yxf
yx
u
x
u
y
xy
′′
=
∂∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
;
),(
2
yxf
xy
u
y
u
x
yx
′′
=
∂∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
; ),(
2
2
yxf
y
u
y
u
y
yy
′′
=
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
.
Производная по направлению. Градиент
Производная функции ),,( z
y
x
u в точке ),,( z
y
x
M
в направлении
вектора
1
MMl = вычисляется по формуле
γβα
coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
∂
+
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
, 
                                              96

                             Дифференциал функции

      Полным приращением функции u = f ( x, y ) в точке M ( x, y ) называ-
ется разность ∆u = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y ) , где ∆x и ∆y − произволь-
ные приращения аргументов.
      Полным дифференциалом функции u = f ( x, y ) называется главная
часть полного приращения ∆u , линейная относительно приращений аргу-
ментов ∆x и ∆y , т. е. du = A∆x + B∆y .
      Полный дифференциал функции u = f ( x, y ) вычисляется по формуле

                                              ∂u     ∂u
                                       du =      dx + dy .
                                              ∂x     ∂y

       Аналогично, полный дифференциал функции трёх переменных
u = f ( x, y, z ) вычисляется по формуле

                                        ∂u     ∂u   ∂u
                                 du =      dx + dy + dz .
                                        ∂x     ∂y   ∂z

                      Частные производные высших порядков

       Частными производными второго порядка                от функции
u = f ( x, y ) называются частные производные от её частных производных
первого порядка.
       Обозначения частных производных второго порядка:

              ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2 u                        ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2 u
                 ⎜ ⎟=        = f xx′′ ( x, y ) ;       ⎜ ⎟=        = f xy′′ ( x, y ) ;
              ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x 2                        ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y

             ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u                          ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2 u
                 ⎜ ⎟=         = f yx′′ ( x, y ) ;       ⎜ ⎟=         = f yy′′ ( x, y ) .
             ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y∂x                       ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y 2

                  Производная по направлению. Градиент

      Производная функции u ( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) в направлении
вектора l = MM 1 вычисляется по формуле

                        ∂u ∂u      ∂u      ∂u
                          = cos α + cos β + cos γ ,
                        ∂l ∂x      ∂y      ∂z

Страницы