Математика. Курзина В.М - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

97
где
γ
β
α
cos,cos,cos – направляющие косинусы вектора
l
.
Градиентом функции ),,( z
y
x
u в точке ),,( z
y
x
M
называется вектор
с началом в точке
M
, имеющий своими координатами частные производ-
ные функции u :
k
z
u
j
y
u
i
x
u
ugrad
∂
+
∂
+
∂
= .
Градиент функции и производная в направлении вектора
l
связаны фор-
мулой
ugrad
l
u
l
пр=
.
Экстремум функции нескольких переменных
Если в точке ),(
000
yxM значение функции больше, чем её значение в
любой другой точке окрестности точки
0
M
, то функция имеет максимум в
точке
0
M . Функция имеет в точке
0
M минимум, если в этой точке её зна-
чение меньше, чем в любой точке из некоторой окрестности точки
0
M .
Максимум или минимум функции называют её
экстремумом. Точка,
в которой функция имеет экстремум, называется
точкой экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если функция ),(
y
x
f
u = имеет в
точке ),(
000
yxM экстремум, то её частные производные в этой точке рав-
ны нулю:
0
),(
,0
),(
0000
=
∂
=
∂
∂
y
yxf
x
yxf
.
Точки, в которых частные производные функции равны нулю, назы-
ваются
стационарными точками.
Достаточное условие экстремума. Пусть ),(
000
yxM – стационарная
точка функции ),(
y
x
f
u
=
. Обозначим
2
00
2
00
2
2
00
2
),(
,
),(
,
),(
y
yxf
C
yx
yxf
B
x
yxf
A
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
=
и составим
дискриминант
2
B
A
C
−
=
∆
. Тогда:
если 0
>∆ , то функция имеет в точке
0
M
экстремум, а именно:
максимум при 0
<
A
(или 0<
C
) и минимум при 0>
A
(или 0>
C
);
если 0
<∆ , то в точке
0
M экстремума нет;
если 0
=∆ , то требуется дополнительное исследование. 
                                               97

где cosα , cos β , cos γ – направляющие косинусы вектора l .
      Градиентом функции u ( x, y, z ) в точке M ( x, y, z ) называется вектор
с началом в точке M , имеющий своими координатами частные производ-
ные функции u :
                                      ∂u      ∂u      ∂u
                             grad u =    i+      j+      k.
                                      ∂x      ∂y      ∂z
Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны фор-
мулой
                                  ∂u
                                      = пр l grad u .
                                   ∂l

              Экстремум функции нескольких переменных

      Если в точке M 0 ( x0 , y0 ) значение функции больше, чем её значение в
любой другой точке окрестности точки M 0 , то функция имеет максимум в
точке M 0 . Функция имеет в точке M 0 минимум, если в этой точке её зна-
чение меньше, чем в любой точке из некоторой окрестности точки M 0 .
      Максимум или минимум функции называют её экстремумом. Точка,
в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.
      Необходимое условие экстремума. Если функция u = f ( x, y ) имеет в
точке M 0 ( x0 , y0 ) экстремум, то её частные производные в этой точке рав-
ны нулю:
                           ∂f ( x 0 , y 0 )      ∂f ( x 0 , y 0 )
                                            = 0,                  = 0.
                                 ∂x                    ∂y
      Точки, в которых частные производные функции равны нулю, назы-
ваются стационарными точками.
      Достаточное условие экстремума. Пусть M 0 ( x0 , y0 ) – стационарная
точка функции u = f ( x, y ) . Обозначим

                   ∂ 2 f ( x0 , y 0 )        ∂ 2 f ( x0 , y 0 )      ∂ 2 f ( x0 , y 0 )
              A=                        , B=                    , C=
                         ∂x 2                     ∂x∂y                     ∂y 2

и составим дискриминант ∆ = AC − B 2 . Тогда:
      если ∆ > 0 , то функция имеет в точке M 0 экстремум, а именно:
максимум при A < 0 (или C < 0 ) и минимум при A > 0 (или C > 0 );
      если ∆ < 0 , то в точке M 0 экстремума нет;
      если ∆ = 0 , то требуется дополнительное исследование.

Страницы