Математика. Курзина В.М - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУЛ | Мытищи

Составители: 

Рубрика: 

98
Условный экстремум
Условным экстремумом
функции ),(
y
x
f
u
=
называется экстремум
этой функции в области, где её переменные связаны уравнением
0),(
=
y
x
ϕ
( уравнением связи).
Условный экстремум находится при исследовании на экстремум
функции Лагранжа
),(),()(
y
x
y
x
f
x
L
λϕ
+
=
,
где
λ
– неопределённый постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
.0),(
;0
;0
yx
yy
f
y
L
xx
f
x
L
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
Из этой системы уравнений можно найти неизвестные
λ
,,
y
x
.
Упражнения
Найти области определения функций:
131.
9
22
−+= yxu . 132. ).ln(
y
x
u
+
=
133.
u 2arcsi
n
= .
134.
yxu −= . 135.
)sin(
22
yxu +=
. 136. ).1ln(
3
−+= yxu
137.
x
xyu )2( −+= . 138. 4−+= yxu . 139.
3
3 yyxu −+= .
140.
22
1
1
yx
u
−−
=
. 141.
)ln(
1
yxy
u
+
=
. 142.
4
2
−
−
=
y
x
u .
143.
22
arccos
yx
z
u
+
=
. 144.
22
arcsin
yx
z
u
−
=
. 145.
y
zx
u
+
=
ln .
146.
222
1
1
zyx
u
−−−
=
. 147.
22
22
25
16
ln
yx
yx
u
−−
−+
=
. 148.
yx
eu
−−
=
4
. 
                                                   98

                                      Условный экстремум

         Условным экстремумом функции u = f ( x, y ) называется экстремум
этой функции в области, где её переменные связаны уравнением
ϕ ( x, y ) = 0 ( уравнением связи).
         Условный экстремум находится при исследовании на экстремум
функции Лагранжа
                              L( x) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) ,
 где λ – неопределённый постоянный множитель.
         Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид:

                                       ⎧ ∂L ∂f              ∂ϕ
                                       ⎪ ∂x ∂x=       +  λ      = 0;
                                                            ∂x
                                       ⎪⎪ ∂L ∂f             ∂ϕ
                                        ⎨ =           +λ        = 0;
                                        ⎪  ∂y   ∂ y         ∂y
                                        ⎪      ϕ ( x , y ) = 0.
                                        ⎪⎩

       Из этой системы уравнений можно найти неизвестные x, y, λ .

                                           Упражнения

       Найти области определения функций:
131. u = x 2 + y 2 − 9 .                132. u = ln( x + y ).                        133. u = arcsin 2 xy .


134. u = x − y .                      135. u = sin( x 2 + y 2 ) .                136. u = ln( x 3 + y − 1).

137. u = ( y + x − 2) x .             138. u = x + y − 4 .                       139. u = 3x + y − y 3 .

                 1                                       1                                      2− x
140. u =                      .         141. u =                 .                   142. u =        .
            1 − x2 − y2                             ln( xy + y )                                y−4


                          z                                      z                                  x+z
143. u = arccos                   . 144. u = arcsin                      .            145. u = ln       .
                      x2 + y2                                x2 − y2                                 y


                      1                                   x 2 + y 2 − 16                            4− x − y
146. u =                              . 147. u = ln                              .     148. u = e              .
                  2       2       2                                  2       2
            1− x − y − z                                  25 − x − y

Страницы