Подземная гидромеханика. Куштанова Г.Г - 27 стр.

                                ∂s                                                           Силой тяжести можно пренебречь, если параметр Ng мал по
    w1 = [ w(t ) + M 2 ( pΚ'       + ∆ρg sin α ) ] f ( s ),
                                ∂x                                       (55)            сравнению с единицей. Для оценки влияния капиллярного давления
                                                                                         необходимо учесть, что в задачах нефтегазовой подземной
                                                                                         гидродинамики размер области течения достигает сотен метров, перепад
    где ∆ρ =    ρ 20 − ρ10 , f(s) - функция Бакли-Леверетта, определяемая
                                                                                         давления несколько десятков или единиц МПа. Если параметр Nc<<1, то
равенством:
                                                                                         капиллярными силами можно пренебречь, такое приближение
                     k1 ( s )                                                            называется крупномасштабным.
    f ( s) =                          , µ 0 = µ1 / µ 2 .                 (56)
             k1 ( s ) + µ 0 k 2 ( s )                                                        Для иллюстрации сделаем оценку. Межфазное натяжение на
    Функция f(s) играет важную роль при гидродинамических расчетах                       границе большинства углеводородных жидкостей и газов с водой
двухфазных фильтрационных течений.                                                       находится в пределах от 0.01 до 0.005 Н/м; скорость фильтрации
    Использовав теперь выражение для скорости (55) и уравнение                           составляет 10-6-10-5 м/с. Положив cos θ ≈ 1 , m=0.1, k=10-13,
неразрывности для первой фазы, получим уравнение для определения                         µ2=3сП=3*10-3 Па*с, w= 10-5 м/с, L=103 м, найдем оценку Nc≈10-4,
насыщенности                                                                             которая дает характерный порядок малости этой величины.
        ∂s                  ∂s ∂ ⎡          ∂s                      ⎤
    m      + w(t ) f ' ( s ) + ⎢ M 2 ( p Κ'    + ∆ρg sin α ) f ( s )⎥ = 0.
        ∂t                  ∂x ∂x ⎣         ∂x                      ⎦                                    17. Классическая задача Бакли-Леверетта.
    Это уравнение известно как уравнение Рапопорта-Лиса. Будем                               Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил
считать для простоты, что суммарная скорость фильтрации не зависит от                    известны как задачи Бакли-Леверетта. Если пренебречь влиянием силы

времени, введя безразмерные переменные             ξ = x / L, τ = wt /(mL)      и        тяжести, то процесс вытеснения допускает простое математическое
                                                                                         описание. Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-
использовав выражения для капиллярного давления, приведем
                                                                                         параллельного и плоскорадиального) течение описывается однотипным
уравнение к безразмерной форме:
                                                                                         уравнением для насыщенности вытесняющей фазы:
    ∂s
    ∂τ
            [
         + f ' (s) + N g G' (s)   ]   ∂s
                                     ∂ξ
                                          + Nc
                                                    ∂
                                                   ∂ξ
                                                         C (s)
                                                               ∂s
                                                               ∂ξ
                                                                  = 0.                       ∂s            ∂s
                                                                         (57)                   + f ' ( s)    = 0.                                       (58)
                                                                                             ∂τ            ∂ξ
    G ( s ) = k 2 ( s ) f ( s ), C ( s ) + G ( s ) J ' ( s ).
                                                                                             В рассматриваемом случае функция Бакли-Леверетта имеет простой
                 k∆ρg sin α       α cos θ mk                                             физический смысл. При ∆ρ=0 и р’к(s)=0 скорость фильтрации
    Здесь   Ng =            , Nc = n                               - безразмерные
                   µ2 w              µ 2 wL                                              вытесняющей фазы в случае прямолинейно-параллельного и
параметры, характеризующие отношение силы тяжести и капиллярных
сил к силам вязкости соответственно.
                                                                                    53                                                                          54