Математические модели экономики. Моделирование потребительского спроса. Кувайскова Ю.Е. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
Требования к функциям полезности: положительность, непрерывность,
дифференцируемость, монотонное неограниченное возрастание функции и
убывание ее первых производных, т. е. предельной полезности.
Монотонное возрастание функции многих переменных )(xu означает, что
если
xx
≥
'
, то
)()(
'
xuxu
≥
. В дифференцируемом случае
0)(
≥∂∂
xxu
.
Монотонное возрастание интерпретируется как ненасыщаемость спроса.
Свойство убывания предельной полезности называется первым законом
Госсена. При переходе к общим многомерным функциям )(xu требование убы-
вания частных производных было усилено требованием строгой вогнутости
функции.
Требование строгой вогнутости накладывает дополнительные условия на
матрицу Гессе
.
...
...................
...
)(
)(
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
n
n
n
x
u
xx
u
xx
u
x
u
x
xu
xH
Эта матрица отрицательно определенна на множестве 0>x .
Некоторые примеры неоклассических функций полезности:
а) степенная аддитивная –
∑
=
<<>
n
i
iiii
axa
i
1
10,0,
α
α
;
б) логарифмическая аддитивная –
∑
=
>>+
n
i
iiiii
baxba
1
0,0),1ln( ;
в) функция Кобба – Дугласа – 1...,10,
1
1
<++=<<
∏
=
nii
n
i
i
x
ααµα
α
;
г) степенная средняя – 01,10,0,
1
≠<−<<>
−
=
−
∑
ρµββ
ρµ
ρ
i
n
i
ii
x ;
д) функция Солоу –
10,10,0,
1
<<<<>
−
=
∑
µα
µ
α
ii
n
i
ii
axa
i
.
В моделях потребления важное значение играет класс положительно одно-
родных (гомотетичных) функций полезности, т. е. таких функций ),(xu для ко-
торых выполняется свойство:
0),()(
>∀=
txuttxu
µ
, (1.13)
где степень однородности ]1,0(∈
µ
. В случае 1=
µ
функции )(xu называются
линейно однородными. При этом они уже не будут строго вогнутыми и, следо-
вательно, неоклассическими.
В случае дифференцируемости и положительной однородности )(xu вы-
полняется соотношение Эйлера:

Страницы