Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов: Монография. Кувшинов Г.Е - 97 стр.

       Найдём аппроксимацию функции Wx1, используя метод, предложен-
ный применительно к решению настоящей задачи А.Г.Беловым. Основная
идея этого метода заключается в упрощении выражения производной аргу-
мента экспоненциальной функции с последующим интегрированием полу-
ченного упрощенного выражения. В ходе выполнения этих и последующих
операций опустим нижние индексы «o» у всех величин.
       Производная по s аргумента экспоненциальной функции, определяю-
щей Wxo, равна

                s 2 +ν ⋅ s
              d
                 1 + τ ⋅ s                    τ ⋅ s 2 + 2s + ν
          f =              =                                                     .   (3.75)
                  ds         2(1 + τ ⋅ s ) ⋅ s ⋅ (1 + ν ⋅ τ ) ⋅ (τ ⋅ s + ν / s )

          Отметим, что предел f при стремлении s к бесконечности равен нулю
при сколь угодно малом значении τ.
            Если в выражении s ⋅ (1 + ν ⋅ τ ) ⋅ (τ ⋅ s + ν / s) пренебречь произведени-
ем ν∙τ, которое в тысячи раз меньше единицы, и вместо радикала взять два
первых члена его разложения в ряд Маклорена, то это выражение примет вид
0,5 ⋅ (τ ⋅ s 2 + 2s +ν ) . Тогда из (3.75) получаем

                                                1
                                        f =           .                              (3.76)
                                              1+τ ⋅ s

     Проинтегрируем (3.76) по s и получим выражение, аппроксимирующее
аргумент экспоненциальной функции,

                                            ln(1 + τ ⋅ s )
                                     f1 =                  − ln( K ),                (3.77)
                                                 τ

      где K – постоянная интегрирования. С учётом найденного выше на-
чального значения Wx1 получаем, что K=exp(- 0,5 ν). Подставив в (3.73) вме-
сто радикала выражение (3.77), находим рациональную функцию, аппрокси-
мирующую Wx1,

                                                  exp( −0,5 ⋅ν )
                                       Wx1a =                   1
                                                                    .                (3.78)
                                      (1 + τ               ⋅ s) τ

      Максимальное отличие Wx1a от Wx1 имеет место при s=0 и составляет
0,0003. Это отличие быстро убывает с ростом s, составляя 0,6∙10-6 при s=6.
      Для определения аппроксимирующей функции, точнее отражающей
влияние внешнего трения при малых значениях s, чем множитель 1-0,5∙ν,
произведём ряд операций с использованием показанного выше метода.