Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

10
37. Выполните действия с операторами:
a)
()
ddx x/ +
2
; б)
d
dx x
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3
; в)
i
d
ϕ
ϕ+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
2
.
Решение. Чтобы выполнить действия с оператором, необходимо подей-
ствовать им на волновую функцию, произвести действия, а в результате
волновую функцию отбросить.
а)
() ()
d
dx
xx
d
dx
x
d
dx
xx+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
ψ
ψ
ψ =
=
()
(
)
()
()
()
dx
dx
x
dx
dx
d
dx
xx x x
2
2
2
ψψ
ψψ++ +=
()
(
)
(
)
() ()
=+ + ++
dx
dx
x
dx
dx
x
dx
dx
xx x
2
2
2
ψψψ
ψψ
.
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
x+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+ ++
2
2
2
2
21.
38. Подействуйте оператором на функцию:
∇
⋅
22
2sin cosxe Z
iy
Решение.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
xyz
xe z
iy
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅⋅sin cos = ez
x
xxz
y
iy2
2
2
2
2
22⋅+⋅⋅cos sin sin cos
∂
∂
∂
∂
()
⋅+ ⋅=−⋅ − ⋅⋅−exe
z
ze z x xe z
iy iy iy iy22
2
2
22
24242sin cos cos sin sin cos
∂
∂
[
]
−⋅⋅=− ⋅⋅sin cos sin cos292
22
xe z xe z
iy iy
.
39. Найдите операторы
$
М
z
и
∇
2
:
а) в сферической системе координат;
б) в цилиндрической системе координат.
40. Оператор квадрата углового момента в сферической системе коор-
динат имеет вид:
$
,
М
222
=− ∇h
θϕ
. Запишите оператор ∇
θϕ,
2
в явном виде и
подействуйте оператором
$
М
2
на следующие функции :
а)
e
i2ϕ
θcos
; б) sin cosϕ
θ
2 ; в)
e
iθ
ϕsin 2
.
41. Найдите операторы переводящие одни функции в другие:
а)
()
(
)
(
)
ψψ ψxxaTx
b
⎯→⎯+=
$
;
б)
()
(
)
(
)
ψϕ ψϕ α ψϕ
b
T⎯→⎯+=
$
; 
     37. Выполните действия с операторами:
                                                           3                      2
                             ⎛ d 1⎞           ⎛ d       ⎞
   a) ( d / dx + x) ;
                         2
                         б) ⎜ + ⎟ ;        в) ⎜ i + 2ϕ⎟ .
                             ⎝ dx x ⎠         ⎝ ϕ       ⎠
   Решение. Чтобы выполнить действия с оператором, необходимо подей-
ствовать им на волновую функцию, произвести действия, а в результате
волновую функцию отбросить.
                            2
                    ⎛ d   ⎞         ⎛ d  ⎞ ⎛ dψ           ⎞
   а)               ⎜ + x⎟ ψ ( x) = ⎜ + x⎟ ⎜     + xψ ( x)⎟ =
                    ⎝ dx  ⎠         ⎝ dx ⎠ ⎝ dx           ⎠
                              d 2 ψ ( x)        dψ ( x )
                                                      d
                          =
                              dx    2
                                           +x
                                            dx        dx
                                                         ( x ψ ( x )) + x 2 ψ ( x ) =
                                                           +

                         d 2 ψ ( x)     dψ ( x )      dψ ( x )
                       =       2
                                    + x          +  x          + x 2 ψ ( x) + ψ ( x) .
                           dx             dx           dx
                                           2
                                ⎛ d      ⎞       d2           d       2
                                ⎜ + x⎟ = 2 + 2x + x + 1.
                                ⎝ dx     ⎠       dx          dx
     38. Подействуйте оператором на функцию:
                                            ∇ 2 sin 2x ⋅ e i 2 y cos Z
Решение.
 ⎛ ∂2  ∂2 ∂2 ⎞           i2 y        i2 y     ∂2                       ∂2
 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ sin 2x ⋅ e ⋅ cos z = e ⋅ cos z 2 sin 2x + sin 2x ⋅ cos z 2 ⋅
 ⎝ ∂x ∂y  ∂z ⎠                               ∂x                        ∂y
                                ∂2
     ⋅ e i 2 y + sin 2xe i 2 y     2
                                     ⋅ cos z = − e i 2 y ⋅ cos z( 4 sin 2x) − 4 sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z −
                                ∂z
                                                               [                      ]
                             − sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z = −9 sin 2x ⋅ e i 2 y ⋅ cos z .

   39. Найдите операторы М   $ и ∇2 :
                                z
   а) в сферической системе координат;
   б) в цилиндрической системе координат.
   40. Оператор квадрата углового момента в сферической системе коор-
динат имеет вид: М$ 2 = − h 2 ∇ 2 . Запишите оператор ∇ 2 в явном виде и
                                θ ,ϕ                    θ ,ϕ

подействуйте оператором М   $ 2 на следующие функции :
     а) e i2ϕ cos θ ;     б) sin ϕ cos 2θ ;  в) e iθ sin 2ϕ .
     41. Найдите операторы переводящие одни функции в другие:
     а) ψ ( x) ⎯⎯b→ ψ ( x + a) = T$ ψ ( x) ;
     б) ψ (ϕ ) ⎯⎯b→ ψ (ϕ + α ) = T$ ψ (ϕ ) ;


10

Страницы