Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 12 стр.

    в) ψ ( r ) ⎯
               ⎯b → ψ ( r + a ) = T$ ψ ( r ) .

    Решение.
    в) Разложим ψ ( r + a ) в ряд в точке а = 0 .


    ψ(r + a) = ψ(r) +
                      a∇
                         ψ(r) +
                                ( a∇ )
                                                 2
                                       ψ ( r )+...+
                                                    ( a∇ )
                                                                 n
                                                           ψ( r) = ∑
                                                                       ( )ψr,
                                                                    ∞ a∇          n

                                                                            ()
                      1!           2!                  n!          n =0 n !
                                                 n
                  ⎛   ∂      ∂      ∂⎞
где ( a∇)
            n
                = ⎜ax   + ay    + az ⎟ .
                  ⎝ ∂x       ∂y     ∂z ⎠
                             ∞
                           хп
    Учтем, что е х = ∑         ; тогда ψ ( r + a ) = e a∇ ψ ( r ); T$ = e a∇ , где е, возве-
                       п=0 п !
денная в степень оператора, подразумевает разложение степени в ряд.
   42. Найдите коммутаторы:
   а) [ x$, p$ x ] ; б) M   x[
                          $ ,M $ ;
                                 y       ]
                                         в) M  $ 2,M [
                                                     $ ;
                                                        z    ]         [      ]
                                                                              $ .
                                                                      г) x$ , M y

                                 $ ,∇2 = 0 .
    43. Покажите, что коммутатор M z             [       ]
   44. Коммутирует ли гамильтониан частицы с оператором импульса,
оператором потенциальной энергии?



      3. ИЗМЕРЕНИЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

   45. Сформулируйте постулат об измерении.
   46. Пусть частица находится в состоянии ψ. Какова должна быть эта
функция, чтобы некоторая физическая величина в результате измерения не
давала разброса значений?
   47. Как узнать теоретически, дает ли в состоянии ψ величина L разброс
значений?
   48. Пусть при единичном измерении интересующей нас величины L
мы получили значение L=Lk. Можно ли на основании этого утверждать,
что до этого измерения частица находилась в таком состоянии, что L рав-
нялась Lk?
   49. Пусть частица находится в состоянии ψ(x,t), а функции ⎨ϕn(x)⎬ яв-
ляются собственными функциями некоторого оператора L$ . Запишем раз-
ложение:
                             ψ ( x, t ) = ∑ c n ϕ n ( x ) .           (1)
                                                     n



                                                                                         11