Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 15 стр.

длина де Бройлевской волны частицы, а Θ = λ/d. Таким образом, Δр′х<> Δр′х , при которой ди-
фракционная картина сохранилась бы.
   58. Сравнить скорость электрона на первой боровской орбите с неопре-
деленностью скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома
порядка 0,1 нм.
   Решение. Неопределенность в координате электрона Δх ≤ 1 = 0,1 нм,
тогда ΔVх ≥ h/ml ≈ 106 м/с. Скорость же электрона найдем из условия Бора
о том, что в первой орбите электрона должна укладываться одна длина
волны, т. е. λ = 2πr = h/mv; V = h/mr ≅ 106 м/c, т. е. V ≈ ΔV.
   59. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализо-
ванного в области размером l = 0,1 нм.
   Решение.
                           Δp 2                             h2
                  T ≥ ΔE =      ; Δx ≤ l; Δp = h / l; ΔE ≥       ,
                           2m                              2ml 2
                h2                     6,6 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с ⋅ 6,6 ⋅ 10 −34 Дж
ΔE ≤ T min ≅        =                                                                           ≈
               2ml 2 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10 −31 кг ⋅ 0,1 ⋅ 10 −9 ⋅ 0,1 ⋅ 10 −9 м 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 Дж / Эв
≈ 150 Эв.
   60. Электрон с кинетической энергией Т = 10 Эв локализован в области
размером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости
электрона.
   61. Оценить минимальную энергию Еmin гармонического осциллятора,
имеющего массу m (потенциал U=kx2/2, частота ω=(k/m)1/2), используя со-
отношение неопределенности.
   62. Оценить с помощью соотношения неопределенности энергию связи
электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее рас-
стояние электрона до ядра.
                                    p 2 e2
   Решение. Энергия электрона Е =      − .
                                   2m r
   Так как r - размер области локализации электрона, для оценки р имеем
р∼h/r.
                                  h2    e2
                              Е≅       − .
                                 2mr 2   r
   Найдем min этого выражения: (∂Е/∂r) = 0.
   ∂E     h2   e2       h2    2         h2         o
      = − 3 + 2 = 0→       = e ; rmin = 2 =a=0,529 A - радиус первой
   ∂r    mr    r        mr             me
Боровской орбиты.

14