Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

15
Е
св
∼-mе
4
/2h
2
= - 13,6 Эв.
63. Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Не
и соответствующее расстояние от электрона до ядра.
Решение. Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализации
электронов -
r
1
и r
2
. Тогда для оценки импульсов имеем: p
1
∼ h/r
1
; p
2
∼ h/r
2
,
так что кинетическая энергия электрона -
h
m
rr
2
1
2
2
2
2
11
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
.
Примечание:
e
rr
e
rr
e
rr
2
12
2
1
2
2
2
2
12
−
≈
+
≈
+
.
Для энергии взаимодействия между электронами примем поэтому ве-
личину порядка е
2
/(r
1
+ r
2
).
Е(r
1
; r
2
) =
h
mr r
Ze
rr
e
rr
2
12
2
12
2
12
2
11 11
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
Считая r
1
= r
2
и используя (∂Е/∂r
1
) = 0, находим:
()
r
h
me
Z
EZ
me
h
Z
min min
;/=⋅
−
=− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=− −
2
2
4
2
1
1
4
2
1
4
2
2 1 4 13,6 Эв.
64. Атом испустил фотон с длиной волны λ=600 нм за время τ=18
-8
с.
Оценить неопределенность
Δ
х, с которой можно установить координату
фотона в направлении его движения, а также относительную неопределен-
ность его длины волны.
Решение. Δх∼сτ = 3 м; (Δλ/λ) = сτ/λ; ΔЕΔt = hcτ/Δλ ≥ h; Δλ ≤ сτ.
65. Монохроматический параллельный пучок электронов нормально
падает на диафрагму с энергией Е=100 Эв, в которой узкая щель (рис. 5).
На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените шири-
ну щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.
Решение. Пусть b - ширина щели, Δ′ - уширение, связанное с неопреде-
ленностью импульса
Δр
у
, вызванного дифракцией прохождения через
щель. Положив
Δу ≈ b,
p = 2mE ; Δр ≈ h/b,
Δ′ = Lθ = L⋅=
Δ
p
p
hL
pb
, 
   Есв ∼-mе4/2h2 = - 13,6 Эв.
   63. Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Не
и соответствующее расстояние от электрона до ядра.
   Решение. Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализации
электронов - r1 и r2. Тогда для оценки импульсов имеем: p1 ∼ h/r1; p2 ∼ h/r2,
так что кинетическая энергия электрона -
                                     h2 ⎛ 1 1 ⎞
                                        ⎜ + ⎟.
                                     2m ⎝ r12 r22 ⎠
   Примечание:
                                  e2       e2
                                            e2
                                       ≈≈        .
                               r1 − r2
                               r12 + r22 r1 + r2
   Для энергии взаимодействия между электронами примем поэтому ве-
личину порядка е2/(r1 + r2).
                            h2 ⎛ 1 1 ⎞      2⎛ 1  1⎞      e2
               Е(r1 ; r2) =    ⎜ + ⎟ − Ze ⎜ + ⎟ +
                            2m ⎝ r1 r2 ⎠     ⎝ r1 r2 ⎠ r1 + r2
   Считая r1 = r2 и используя (∂Е/∂r1) = 0, находим:
               h2      1                ⎛    1 ⎞ me 4
      rmin   =     ⋅        ; E min = −2⎜ Z − ⎟ 2 = −2( Z − 1 / 4) 13,6 Эв.
               me 2 Z − 1               ⎝    4 ⎠ 2h
                          4
   64. Атом испустил фотон с длиной волны λ=600 нм за время τ=18-8 с.
Оценить неопределенность Δх, с которой можно установить координату
фотона в направлении его движения, а также относительную неопределен-
ность его длины волны.
   Решение. Δх∼сτ = 3 м; (Δλ/λ) = сτ/λ; ΔЕΔt = hcτ/Δλ ≥ h; Δλ ≤ сτ.
   65. Монохроматический параллельный пучок электронов нормально
падает на диафрагму с энергией Е=100 Эв, в которой узкая щель (рис. 5).
На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените шири-
ну щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.
   Решение. Пусть b - ширина щели, Δ′ - уширение, связанное с неопреде-
ленностью импульса Δру, вызванного дифракцией прохождения через
щель. Положив Δу ≈ b,

   p = 2mE ; Δр ≈ h/b,
                   Δp hL
   Δ′ = Lθ = L ⋅      =    ,
                    p   pb

                                                                              15

Страницы