Вопросы и задачи по курсу квантовой химии. Кузин Э.Л. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

1
7
ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ
73.
Пусть
$
L
d
dx
=
2
2
. При каком значении L
n
функция Ψ
n
= sin nx является
решением уравнения
$
LΨ
n
= L
n
Ψ
n
?
Решение. Подействуем оператором
$
L на Ψ
n
.
d
dx
d
dx
nx
d
dx
sin
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
n cos nx = - n
2
sin nx; L
n
= - n
2
.
74. Покажите, что собственной функцией оператора
$
L
предыдущей за-
дачи является функция
Ψ(x) = с
1
sin nx + с
2
cos nx, где с
1
и с
2
- произволь-
ные постоянные. Найдите эти коэффициенты и
Ψ(x), используя граничные
условия
75. Найдите собственные функции операторов:
а)
$
Hih
t
=−
∂
∂
; б)
$
Mih
z
=−
∂
∂ϕ
.
76. Найдите собственные значения и собственные функции оператора
$
H
−1
, если для оператора
$
Н они равны E
n
и Ψ
n
.
77. Покажите, что две разные собственные функции эрмитовского опе-
ратора ортогональны.
78. Покажите, что волна де Бройля
()
ψ
p
i
pr
r
L
e=
1
3
h
является собствен-
ной функцией оператора кинетической энергии частицы
$
Т
м
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∇
h
2
2
2
.
79. Покажите, что волны де Бройля
(
)
ψ
p
r
и
(
)
ψ
−p
r
ортогональны, но
относятся к одному и тому же собственному значению
Tp m=
2
2/. Каков
физический смысл вырождения состояний оператора кинетической энер-
гии?
80. Эрмитов оператор задан в виде матрицы F
ab
cd
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
. Определите
собственные значения и собственные функции оператора
$
F.
81. Покажите, что если оператор симметрии системы
$
R оставляет неиз-
менным гамильтониан, то состояния системы вырождены.
82. Какой физический смысл имеет ортогональность собственных
функций оператора? А нормированость? 
                       ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ

             $  d2
   73. Пусть L = 2 . При каком значении Ln функция Ψn = sin nx является
                dx
решением уравнения L$ Ψn = LnΨn ?
   Решение. Подействуем оператором L$ на Ψn .
              d ⎛ d      ⎞ d
                 ⎜ sin nx⎟ =  n cos nx = - n2 sin nx; Ln = - n2.
              dx ⎝ dx    ⎠ dx

    74. Покажите, что собственной функцией оператора L        $ предыдущей за-
дачи является функция Ψ(x) = с1 sin nx + с2 cos nx, где с1 и с2 - произволь-
ные постоянные. Найдите эти коэффициенты и Ψ(x), используя граничные
условия
    75. Найдите собственные функции операторов:
       $ = − ih ∂ ;
    а) H                        $ = − ih ∂ .
                             б) M z
                ∂t                      ∂ϕ
    76. Найдите собственные значения и собственные функции оператора
  −
 $ , если для оператора Н
   1                     $ они равны En и Ψn .
H
    77. Покажите, что две разные собственные функции эрмитовского опе-
ратора ортогональны.
                                                      i
                                                  1 h pr
    78. Покажите, что волна де Бройля ψ p ( r ) =    e является собствен-
                                                  L3
                                                              $    ⎛ h2 ⎞ 2
ной функцией оператора кинетической энергии частицы Т = −⎜ ⎟ ∇ .
                                                                   ⎝ 2м ⎠
    79. Покажите, что волны де Бройля ψ p ( r ) и ψ − p ( r ) ортогональны, но
относятся к одному и тому же собственному значению T = p 2 / 2m . Каков
физический смысл вырождения состояний оператора кинетической энер-
гии?
                                                   ⎛ a b⎞
   80. Эрмитов оператор задан в виде матрицы F = ⎜       ⎟ . Определите
                                                   ⎝ c d⎠
собственные значения и собственные функции оператора F.$
   81. Покажите, что если оператор симметрии системы R$ оставляет неиз-
менным гамильтониан, то состояния системы вырождены.
   82. Какой физический смысл имеет ортогональность собственных
функций оператора? А нормированость?


                                                                           17

Страницы