Составители:
Рубрика:
3
Применяя закон Гука и используя связь между продольной и поперечной деформациями (11.1), вычислим
относительную деформацию
x
x
y
Δ
, порожденную только напряжением
Y
σ
:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
⋅μ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
−⋅μ−=
Δ
⋅μ−=
Δ
EEy
y
x
x
y
.
Наконец, таким же способом найдем относительную деформацию
x
x
z
Δ
, возникающую только под дейст-
вием напряжения вдоль оси «OZ»:
Ez
z
x
x
z
σ
⋅μ=
Δ
⋅μ−=
Δ
.
Согласно принципу суперпозиции, полная относительная деформация вдоль оси «OX» равна:
()
μ⋅−⋅
σ
−=
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
21
Ex
x
x
x
x
x
x
x
z
y
x
Таким же образом находим полные относительные деформации вдоль двух других осей координат:
()
μ⋅−⋅
σ
−=
Δ
21
Ey
y
,
()
μ−⋅
σ
−=
Δ
21
Ez
z
.
Определим величину относительной объемной деформации при всестороннем сжатии
V
VΔ
, где V ⎯ объ-
ем тела, а ΔV ⎯ абсолютное изменение объема. zyxV
⋅
⋅
=
,
(
)
)zln()yln()xln(Vln +
+
=
. Найдем дифференци-
ал логарифма объема:
z
dz
y
dy
x
dx
V
dV
++= . При малых деформациях дифференциалы переменных можно заме-
нить их приращениями. В результате получаем формулу для относительной объемной деформации:
()
μ⋅−⋅⋅
σ
−=
Δ
213
EV
V
.
Отсюда следует выражение для величины напряжения при объемной деформации:
()
V
V
K
V
V
213
E
Δ
⋅−=
Δ
⋅
μ⋅−⋅
−=σ ,
где величина
()
μ⋅−⋅
=
213
E
K
называется модулем объемной деформации.
4. Чистый сдвиг
Чистым сдвигом называется деформация, возникающая под действием сил, изображенных на рисунке
11.3. Тело кубической формы подвергается воздействию четырех сил одинаковой величины
F, равномерно рас-
пределенных по соответствующим граням и приложенных параллельно этим граням. Равновесие тела обеспе-
чивается тем, что силы, приложенные к противоположным граням, имеют взаимно противоположные направ-
ления.
На рис. 11.3 изображена проекция в
плоскости, перпендикулярной оси «OZ».
Деформация тела характеризуется углом
поворота грани
γ вокруг этой оси
относительно ее начального положения.
Напряжения на гранях при воздействии сил,
параллельных граням, называются каса-
тельными напряжениями. Их величина
S
F
=τ , где S ⎯ площадь грани.
Выполним вычисление
γ в зависимости
от
напряжений на гранях
τ. Как и прежде, будем
считать величину деформации (угол
γ)
малой. Рассмотрим равновесие частей де-
формированного кубика, разрезанного вдоль
большей диагонали
D1 плоскостью, параллельной оси «OZ». Эти части изображены на рис. 11.4. Обозначены
площади диагонального сечения
2SS
D
⋅= (при вычислении площади мы пренебрегаем изменением длины
диагоналей при деформации кубика, считая их незначительными), площади граней кубика,
S и силы, дейст-
X
Y
)x(
F
+
r
)x(
F
−
r
)y(
F
+
r
)y(
F
−
r
3.11.Рис
0
90
γ
1D
2D
3
Применяя закон Гука и используя связь между продольной и поперечной деформациями (11.1), вычислим
Δx y
относительную деформацию , порожденную только напряжением σ Y :
x
Δx y Δy ⎛ σ⎞ ⎛σ⎞
= −μ ⋅ = −μ ⋅ ⎜ − ⎟ = μ ⋅ ⎜ ⎟ .
x y ⎝ E⎠ ⎝E⎠
Δx z
Наконец, таким же способом найдем относительную деформацию , возникающую только под дейст-
x
вием напряжения вдоль оси «OZ»:
Δx z Δz σ
= −μ ⋅ = μ⋅ .
x z E
Согласно принципу суперпозиции, полная относительная деформация вдоль оси «OX» равна:
Δ x Δx x Δx y Δx z σ
= + + = − ⋅ (1 − 2 ⋅ μ )
x x x x E
Таким же образом находим полные относительные деформации вдоль двух других осей координат:
Δy σ
= − ⋅ (1 − 2 ⋅ μ ) ,
y E
Δz σ
= − ⋅ (1 − 2μ ) .
z E
ΔV
Определим величину относительной объемной деформации при всестороннем сжатии , где V ⎯ объ-
V
ем тела, а ΔV ⎯ абсолютное изменение объема. V = x ⋅ y ⋅ z , ln (V ) = ln( x ) + ln( y ) + ln( z ) . Найдем дифференци-
dV dx dy dz
ал логарифма объема: = + + . При малых деформациях дифференциалы переменных можно заме-
V x y z
нить их приращениями. В результате получаем формулу для относительной объемной деформации:
ΔV σ
= − ⋅ 3 ⋅ (1 − 2 ⋅ μ ) .
V E
Отсюда следует выражение для величины напряжения при объемной деформации:
E ΔV ΔV
σ=− ⋅ = −K ⋅ ,
3 ⋅ (1 − 2 ⋅ μ ) V V
E
где величина K = называется модулем объемной деформации.
3 ⋅ (1 − 2 ⋅ μ )
4. Чистый сдвиг
Чистым сдвигом называется деформация, возникающая под действием сил, изображенных на рисунке
11.3. Тело кубической формы подвергается воздействию четырех сил одинаковой величины F, равномерно рас-
пределенных по соответствующим граням и приложенных параллельно этим граням. Равновесие тела обеспе-
чивается тем, что силы, приложенные к противоположным граням, имеют взаимно противоположные направ-
ления. γ
На рис. 11.3 изображена проекция в
плоскости, перпендикулярной оси «OZ».
Y r (x)
Деформация тела характеризуется углом F+
поворота грани γ вокруг этой оси
относительно ее начального положения.
Напряжения на гранях при воздействии сил, 90 0
D2
параллельных граням, называются каса-
тельными напряжениями. Их величина r r
F−( y ) F+( y )
F D1
τ = , где S ⎯ площадь грани.
S
Выполним вычисление γ в зависимости X от
напряжений на гранях τ. Как и прежде, будем r
считать величину деформации (угол γ) F−( x )
малой. Рассмотрим равновесие частей де-
формированного кубика, разрезанного вдоль Рис. 11.3
большей диагонали D1 плоскостью, параллельной оси «OZ». Эти части изображены на рис. 11.4. Обозначены
площади диагонального сечения S D = S ⋅ 2 (при вычислении площади мы пренебрегаем изменением длины
диагоналей при деформации кубика, считая их незначительными), площади граней кубика, S и силы, дейст-
