Дифференциальная геометрия. Исследование пространственных кривых с помощью пакета Mathematica. Кузьмина И.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Подсчитаем кривизну нашей кривой в точке t=pi/2:
k[r][Pi/2]
i
k
j
j
-
i
k
j
j
1
2
i
k
j
j
1296900 +144000 p+276406 p
2
+27288 p
3
+
215681 p
4
16
+
2319 p
5
2
-
2845 p
6
16
-
153 p
7
16
+
13 p
8
16
-
4225
i
k
j
j
4-2p
2
+
p
4
16
y
{
z
z
+26 p
i
k
j
j
-8000 -456 p-848 p
2
-39 p
3
+
27 p
4
4
-
3p
5
32
+
p
6
32
y
{
z
z
y
{
z
z
y
{
z
z
y
{
z
zì
i
j
j
j
10
i
j
j
89
k
k
2
-3p+
97 p
2
8
-
3p
3
8
+
13 p
4
200
-
13
2
i
j
j
3-2p-
3p
2
k
4
+
p
3
4
y
{
z
z
y
{
z
z
3
ê
2
y
{
z
z
z
N[%]
0.0747004
3.2. кривой определяется ак: Кручение т
κ t = r' t ,r'' t , r''' tH L H H L H L H LL
@ H L H LDr' t ,r'' t
2
Программа вычисления кручения произвольной кривой alpha в
произвольной точке M(t) выглядит так:
kappa[alpha_][t_]:=
Simplify[Det[{D[alpha[tt],tt],D[alpha[tt],{tt,2}],D[alp
ha[tt],{tt,3}]}]]/
Simplify[Factor[Cross[D[alpha[tt],tt],
D[alpha[tt],{tt,2}]].Cross[D[alpha[tt],tt],D[alpha[tt],
{tt,2}]]]] /. tt→t;
Пример.
Вычислим кручение нашей кривой r(t):
kappa[r][t]//Simplify
- I20 I- 2 t
6
+ 6 t
5
+ 60 t
4
+ 24 t
3
+ 320 t
2
- 104 cosH2 tLt + 13 Ht
2
+ 2L
2
sinH2 tL+ 320MM
ë
H208 t
8
- 1224 t
7
+ 2392 sinH2 tLt
6
- 11380 t
6
- 7800 sinH2 tLt
5
+ 37104 t
5
- 94016 sinH2 tLt
4
+
215681 t
4
- 7800 sinH2 tLt
3
- 16900 sinH4 tLt
3
+ 218304 t
3
- 31200 sinH2 tLt
2
+ 1105624 t
2
-
52 H2 t
6
- 3 t
5
+ 108 t
4
- 312 t
3
- 3392 t
2
- 912 t - 8000LcosH2 tLt + 46800 sinH2 tLt +
33800 sin 4 t t + 288000 t - 4225 t
4
- 8 t
2
+ 4 cos 4 t + 416000 sin 2 t + 1296900H L H L H L H L L
Подсчитаем кручение нашей кривой в точке t=pi/2:
12
             Подсчитаем кривизну нашей кривой в точке t=pi/2:


ij ij 1 ij
          k[r][Pi/2]
 j-j j1296900 + 144000 p+ 276406 p2 + 27288 p3 +
                                                 215681 p4 2319 p5 2845 p6 153 p7 13 p8
 k k k
                                                          +       -       -      +      -
      2                                             16        2      16      16    16
                   i          p4 y       i                                27 p4 3 p5 p6 yzyzyzyz
             4225 jj4 - 2 p2 + zz + 26 pjj-8000 - 456 p- 848 p2 - 39 p3 +           + zzzzì
                   k          16 {       k                                       32 32 {{{{
                                                                               -
                                                                           4
 ij ij 89      97 p2 3 p3 13 p4 13 ij      3 p2 p3 yzyz3ê2yz
  j10 j - 3 p+                 - j3 - 2 p-     + zz z
  k k                               k           4 {{ {
                    -    +
       2         8    8    200  2           4


          N[%]

          0.0747004

          3.2. Кручение кривой определяется так:
            κ HtL = Hr' HtL, r'' HtL, r''' HtLL ë @r' HtL, r'' HtL D2

          Программа вычисления кручения произвольной кривой alpha в
          произвольной точке M(t) выглядит так:

          kappa[alpha_][t_]:=
          Simplify[Det[{D[alpha[tt],tt],D[alpha[tt],{tt,2}],D[alp
          ha[tt],{tt,3}]}]]/
                  Simplify[Factor[Cross[D[alpha[tt],tt],

          D[alpha[tt],{tt,2}]].Cross[D[alpha[tt],tt],D[alpha[tt],
          {tt,2}]]]] /. tt→t;

          Пример.
          Вычислим кручение нашей кривой r(t):


 - I 20 I - 2 t6 + 6 t5 + 60 t4 + 24 t3 + 320 t2 - 104 cosH 2 tL t + 13 H t2 + 2 L 2 sin H 2 tL + 320MM ë
          kappa[r][t]//Simplify

     H 208 t8 - 1224 t7 + 2392 sin H 2 tL t6 - 11380 t6 - 7800 sin H 2 tL t5 + 37104 t5 - 94016 sinH 2 tL t4 +
         215681 t4 - 7800 sinH 2 tL t3 - 16900 sin H 4 tL t3 + 218304 t3 - 31200 sinH 2 tL t2 + 1105624 t2 -
         52 H 2 t6 - 3 t5 + 108 t4 - 312 t3 - 3392 t2 - 912 t - 8000 L cosH 2 tL t + 46800 sinH 2 tL t +
         33800 sinH 4 tL t + 288000 t - 4225 H t4 - 8 t2 + 4L cosH 4 tL + 416000 sinH 2 tL + 1296900L

           Подсчитаем кручение нашей кривой в точке t=pi/2:


                                                                                                            12

Страницы