Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика. Кузнецов С.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26
Тема 3. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ
НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Свободные затухающие механические колебания
3.2. Коэффициент затухания
и логарифмический декремент затухания
3.3. Вынужденные механические колебания
3.4. Автоколебания
3.1. Свободные затухающие механические колебания
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механи-
ческих колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения
и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).
Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при
небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропор-
циональны величине скорости (например маятник). Тогда сила трения
(или сопротивления)
υF
тр
r
r
r−= ,
где r – коэффициент сопротивления,
υ
r
– скорость движения.
Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных
колебаний вдоль оси x:
xx
rkxma υ
−
−
=
,
где kx – возвращающая сила, rυ
x
– сила трения. Это уравнение можно
переписать:
t
x
rkx
t
x
m
d
d
d
d
2
2
−−= , отсюда следует: 0
d
d
d
d
2
2
=++ x
m
k
t
x
m
r
t
x
.
Введем обозначения:
β
2
=
m
r
;
2
0
ω=
m
k
.
Тогда однородное
дифференциальное уравнение второго порядка,
описывающее затухающее колебательное движение
, запишем так:
0ω
d
d
β2
d
d
2
0
2
2
=++ x
t
x
t
x
. (3.1.1)
Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при
0
ωβ
≤
):
)φωcos(
0
β
0
−=
−
teAx
t
. (3.1.2)
Здесь А
0
и φ
0
определяются из краевых условий задачи (начальных и
граничных), а β и ω – из самого уравнения.
Найдем круговую частоту ω. Здесь она уже не равна
)ωω(ω
00
≠ .

Страницы