Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика. Кузнецов С.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27
Для этого найдем первую и вторую производные от x:
)φωsin(ω)φωcos(β
d
d
0
β
00
β
0
+−+−=
−−
teAteA
t
x
tt
,
).φωcos(ω)φωsin(βω
)φωsin(βω)φωcos(β
d
d
0
β
0
2
0
β
0
0
β
00
β
0
2
2
2
+−++
++++=
−−
−−
teAteA
teAteA
t
x
tt
tt
Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на
t
eA
β
0
−
:
;0)φωcos(ω)φωsin(ωβ2)φωcos(β2
)φωcos(ω)φωsin(βω2)φωcos(β
0
2
000
2
0
2
00
2
=+++−+−
−+−+++
ttt
ttt
0)φωcos(ω)φωcos(ω)φωcos(β
0
2
00
2
0
2
=+++−+− ttt.
Сократим на
)φωcos(
0
+t
и выразим ω:
22
0
22
0
22
βωω;0ωωβ −==−−− ,
22
0
βωω −=
,
где ω
0
– круговая частота собственных колебаний (без затухания);
ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого вы-
ражения ясно, почему решение (3.1.1) будет только при
0
ωβ ≤ .
Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значе-
ния ω, β, ω
0
будут различными. Например, для колебаний под действием
упругой силы
m
k
=
0
ω ;
m
r
2
β =
; .
2
ω
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
m
r
m
k
Затухающие колебания представляют собой непериодические коле-
бания, так как в них не повторяется, например, максимальное значение
амплитуды. Поэтому называть ω – циклической (повторяющейся, круго-
вой) частотой можно лишь условно. По этой же причине и
22
0
βω
π2
ω
π2
−
==T
называется условным периодом затухающих колебаний.
3.2. Коэффициент затухания и логарифмический декремент
затухания
Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в
моменты времени t и
T
t
+ (рис. 3.1):

Страницы