ВУЗ:
Составители:
52
В пределах ямы (10
≤
≤
x
) уравнение Шредингера (5.2.1) сводится
к уравнению
,0Ψ
Ψ
или0Ψ
2Ψ
2
2
2
22
2
=+
∂
∂
=+
∂
∂
k
x
E
m
x
h
(5.2.3)
2
2
2
h
mE
k = . (5.2.4)
Общее решение дифференциального уравнения:
kx
B
kx
A
x
cossin)(Ψ
+
=
.
А т.к. по (5.2.2) 0)0(Ψ = , то B = 0. Тогда
kx
A
x
sin)(Ψ
=
, (5.2.5)
уравнение 0sin)(Ψ == k
l
A
l
выполняется только при πnk
l
=
, где n – це-
лые числа, т.е. необходимо, чтобы
l
n
k
π
= . (5.2.6)
Из выражений (5.2.4) и (5.2.6) следует, что энергия частицы зави-
сит от n:
2
222
2
π
m
l
n
E
n
h
=
, (5.2.7)
где n = 1, 2, 3… .
Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение
частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удов-
летворяется только при собственных значениях E
n
, зависящих от целого
числа n. Следовательно,
энергия E
n
частицы в потенциальной яме с
бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные
дис-
кретные значения
, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии E
n
называются
уровнями энергии, а число п, определяющее энергетиче-
ские уровни –
главным квантовым числом.
Таким образом,
микрочастица в «потенциальной яме» с бесконеч-
но высокими стенками может находиться только на определенном
энергетическом уровне E
n
, или, как говорят, частица находится в
квантовом состоянии п.
Подставив k в (5.2.5), из (5.2.6) найдем собственные функции:
.
π
sin)(Ψ x
l
n
Ax
n
=
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки
(4.3.3), которое для данного случая запишется в виде
∫
=
l
xx
l
n
A
0
22
1d
π
sin .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
