Элементы квантовой статистики. Кузнецов В.Л - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1. РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Основные теоретические сведения
Равновесное электромагнитное излучение, заключенное в полости с темпе-
ратурой стенок T, представляет собой совокупность фотонов, распределенных
по модам — типам волн, характеризующимся своей частотой ω, волновым век-
тором
k
r
и поляризацией. Среднее число фотонов в моде <n> (заселенность мо-
ды) зависит лишь от энергии фотонов
Ф
ωε
=
h и от температуры стенок. Моды,
характеризующиеся разным направлением распространения волн (разными k
r
)
или разными поляризациями, при совпадающих частотах ω заселены одинако-
во. Это следует из
распределения Бозе-Эйнштейна, справедливого для бозо-
нов (частиц с целым спином), в котором следует принять значение химического
потенциала равным нулю
ω
1
1
kT
e
n =
−
h
. (1.1)
В интервале частот от ω до ω + dω имеется dN(ω) различных мод. Величи-
на
()
ω
ω
dN
D
d
= называется спектральной плотностью мод и для вакуумиро-
ванной полости объемом V рассчитывается по формуле
()
2
23
ωω
π
V
D
c
=
⋅
. (1.2)
Используя эти величины и формулу для энергии фотона
Ф
ωε = h , можно
найти среднюю энергию электромагнитного излучения в интервале частот от ω
до ω + dω
()
(
)
(
)
ωω ωω ωω(ω) ωεdndNnDdUd
=
⋅⋅ =⋅⋅ ⋅= ⋅hh .
Входящая в это выражение величина
(
) ()
ωω ωUnD
=
⋅⋅h имеет смысл
спектральной плотности энергии электромагнитного излучения в объеме
V. Используя (1.1) и (1.2), можно записать
формулу Планка
()
3
23
ω
ω 1
ω
π
1
kT
e
V
U
c
⋅⋅
=⋅
⋅
−
h
h
. (1.3
а
)
Учитывая взаимосвязь частоты ω с длиной волны λ, эту формулу можно
преобразовать к виду
5
λ
8π 1
(λ)
λ
1
hc
kT
e
hcV
U
⋅
⋅⋅
=⋅
. (1.3
б
) 
                1. РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

                      Основные теоретические сведения

     Равновесное электромагнитное излучение, заключенное в полости с темпе-
ратурой стенок T, представляет собой совокупность фотонов, распределенных
       r — типам волн, характеризующимся своей частотой ω, волновым век-
по модам
тором k и поляризацией. Среднее число фотонов в моде  (заселенность мо-
ды) зависит лишь от энергии фотонов ε Ф = hω и от температуры стенок. Моды,
                                                                          r
характеризующиеся разным направлением распространения волн (разными k )
или разными поляризациями, при совпадающих частотах ω заселены одинако-
во. Это следует из распределения Бозе-Эйнштейна, справедливого для бозо-
нов (частиц с целым спином), в котором следует принять значение химического
потенциала равным нулю
                                       1
                                n = hω     .                           (1.1)
                                            e kT − 1
    В интервале частот от ω до ω + dω имеется dN(ω) различных мод. Величи-
             dN
на D ( ω ) =    называется спектральной плотностью мод и для вакуумиро-
             dω
ванной полости объемом V рассчитывается по формуле

                                             V
                                D ( ω) =    2   3
                                                  ω2 .                           (1.2)
                                           π ⋅c
    Используя эти величины и формулу для энергии фотона ε Ф = hω , можно
найти среднюю энергию электромагнитного излучения в интервале частот от ω
до ω + dω
             dε ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ dN ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) ⋅ dω = U (ω) ⋅ dω .
    Входящая в это выражение величина U ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) имеет смысл
спектральной плотности энергии электромагнитного излучения в объеме
V. Используя (1.1) и (1.2), можно записать формулу Планка

                                        V ⋅ h ⋅ ω3        1
                             U ( ω) =              ⋅     hω
                                                                   .            (1.3а)
                                         π 2 ⋅ c3
                                                       e kT   −1

    Учитывая взаимосвязь частоты ω с длиной волны λ, эту формулу можно
преобразовать к виду
                              8π ⋅ h ⋅ c ⋅ V        1
                      U (λ) =       5
                                             ⋅    hc
                                                         .        (1.3б)
                                   λ
                                               e λkT − 1

Страницы