Элементы квантовой статистики. Кузнецов В.Л - 4 стр.

                                               1         hω
                                       ε(ω)   = hω +
                                               2         hω
                                                                    .                    (2.3)
                                                −1     e kT
     В отличие от электромагнитных волн спектр фононных мод ограничен
сверху величиной ωD, имеющей название дебаевской частоты. Смысл этого
ограничения становится ясным, если учесть, что в кристаллах не могут сущест-
вовать упругие волны, длина которых меньше расстояния между соседними
атомами. Значение ωD, определенное из требования равенства общего количе-
ства мод числу степеней свободы 3N, рассчитывается по формуле:
                                                                1
                                    ⎛ 6π 2 ⋅ N ⋅ CЗВ
                                                  3 ⎞3
                              ωD = ⎜                 ⎟ .               (2.4)
                                    ⎝        V       ⎠
     Спектральная плотность фононных мод D(ω) определяется схожей с (1.2)
формулой, но с поправочным множителем 3/2, который учитывает, что в твер-
дом теле, помимо поперечных волн двух поляризаций, могут распространяться
еще и продольные волны
                                               3V
                                 D ( ω ) = 2 3 ω2 ,                    (2.5)
                                           2π ⋅ CЗВ
где V — объем кристалла, CЗВ — скорость упругих волн в кристалле, соответст-
вующим образом усредненная по поляризациям, частотам и направлениям.
     С учетом формул (2.3) и (2.4) можно получить выражения для спектраль-
ной плотности энергии упругих колебаний U(ω) (типа 1.3а) и полной энергии
упругих колебаний твердого тела
                              ω                                 ω
                                  D
                                                        9N h        D
                                                                        ω 3 ⋅ dω
                         U=    ∫      U ( ω ) dω = U 0 + 3 ⋅        ∫   hω
                                                                                   .     (2.6)
                               0
                                                        ωD          0
                                                      −1              e kT
где U0 — энергия нулевых колебаний кристаллической решетки. Анализ приве-
денного соотношения становится нагляднее, если для температуры T ввести
масштабную единицу, называемую температурой Дебая:
                                     hω
                                θD = D .                             (2.7)
                                      k
     Наибольший интерес представляют результаты вычисления в двух пре-
дельных случаях:
       –при высоких температурах (T >> θD) U ≈ U 0 + 3N ⋅ k ⋅ T ,    (2.8)
                                                      3π 4 ⋅ N ⋅ k ⋅ T 4
         –при низких температурах (T << θD) U ≈ U 0 +                    .  (2.9)
                                                            5θ3D
     С их помощью можно определить соответствующие теплоемкости твердо-
го тела:
           –при T >> θD    CV ≈ 3 N ⋅ k     (закон Дюлонга-Пти),           (2.10)
                                                            3
                                   12π 4 ⋅ N ⋅ k ⋅ ⎛ T ⎞
          –при T << θD        CV ≈                 ⎜ ⎟              (закон T3 Дебая).   (2.11)
                                         5         ⎝ θD ⎠