Элементы квантовой статистики. Кузнецов В.Л - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

()
2
2
2
3
3π
2
F
e
n
m
E =
h
, (3.3)
а среднее значение энергии электронов
3
5
F
E
E= . (3.4)
0 E
F
E
Рис. 3.1. Зависимость среднего числа
электронов <n
i
> в некотором выде-
ленном квантовом состоянии от ве-
личины энергии E этого состояния
при температуре T = 0.
0 E
F
E
Рис. 3.2. Зависимость среднего числа
электронов <n
i
> в некотором выделен-
ном квантовом состоянии от величины
энергии E этого состояния при темпе-
ратуре T = 0,05 E
F
/ k.
В общем случае произвольной температуры электроны заселяют состояния
в соответствии с
распределением Ферми-Дирака
μ
1
1
i
E
kT
e
n
−
=
+
. (3.5)
Величина
i
n представляет собой среднее число электронов, находящихся
в i–ом квантовом состоянии с энергией E
i
. Параметр μ, носящий название хи-
мический потенциал, в общем случае слабо зависит от температуры. В физике
твердого тела химический потенциал μ часто называют
уровнем Ферми. При
E
i
= μ вероятность заполнения состояния равна 0,5. Значение μ при нулевой
температуре соответствует энергии Ферми E
F
. Пренебрегая слабой зависимо-
стью химического потенциала от температуры, распределение (3.5) можно пе-
реписать в виде
1
1
F
i
EE
kT
e
n
−
=
+
. (3.6)
График этого распределения при kT = 0,05 E
F
приведен на рис. 3.2.
Таким образом, в приближении свободных электронов в металлах спектр
возможных значений энергии валентных электронов является квазинепрерыв-
ным, а заселенность уровней определяется распределением Ферми-Дирака. Ес-
ли же при решении уравнения Шредингера учитывать периодичность силового
поля ионов кристаллической решетки, то в результате получится, что спектр 
                                                        2
                                 EF =
                                       h2
                                      2 me
                                           (
                                           3π 2 n   )   3   ,          (3.3)
а среднее значение энергии электронов
                                       3
                                    E = EF .                           (3.4)
                                       5




               0         EF         E                0          EF      E
Рис. 3.1. Зависимость среднего числа    Рис. 3.2. Зависимость среднего числа
электронов  в некотором выде-       электронов  в некотором выделен-
ленном квантовом состоянии от ве-       ном квантовом состоянии от величины
личины энергии E этого состояния        энергии E этого состояния при темпе-
при температуре T = 0.                  ратуре T = 0,05 EF / k.

    В общем случае произвольной температуры электроны заселяют состояния
в соответствии с распределением Ферми-Дирака
                                           1
                                   ni = E −μ  .                     (3.5)
                                           e kT + 1
     Величина ni представляет собой среднее число электронов, находящихся
в i–ом квантовом состоянии с энергией Ei. Параметр μ, носящий название хи-
мический потенциал, в общем случае слабо зависит от температуры. В физике
твердого тела химический потенциал μ часто называют уровнем Ферми. При
Ei = μ вероятность заполнения состояния равна 0,5. Значение μ при нулевой
температуре соответствует энергии Ферми EF. Пренебрегая слабой зависимо-
стью химического потенциала от температуры, распределение (3.5) можно пе-
реписать в виде
                                          1
                                 ni = E − EF  .                       (3.6)
                                           +1
                                        e kT
    График этого распределения при kT = 0,05 EF приведен на рис. 3.2.
    Таким образом, в приближении свободных электронов в металлах спектр
возможных значений энергии валентных электронов является квазинепрерыв-
ным, а заселенность уровней определяется распределением Ферми-Дирака. Ес-
ли же при решении уравнения Шредингера учитывать периодичность силового
поля ионов кристаллической решетки, то в результате получится, что спектр

Страницы