ВУЗ:
Составители:
Для упрощения последующих преобразований произведем замену
ω
x
kT
=
h
.
Тогда
()
2
22
23 2
ЗВ
3
()
2π 11
xx
ee
VkT
x
x
fx a
C
⋅
=⋅=⋅
⋅
⋅− −h
,
где
()
2
232
зв
3
2π
VkT
a
C
⋅
=
⋅⋅h
. Заметим, что при x → 0 и при x → ∞ эта неотрицательная
функция стремится к нулю. Значит, где-то между нулем и бесконечностью
должен быть максимум функции f(x). Дифференцируя полученное выражение
по x, и приравнивая результат к нулю, получаем
(
)
()
2
2
21
0
1
xx
x
xe xe
e
⋅−−⋅
=
−
или
()
(
)
2
22 0
1
xx
x
x
exe
e
⋅
⋅−−⋅ =
−
.
Удовлетворяющие этому уравнению значения x = 0 и x = ∞, как отмеча-
лось выше, соответствуют минимумам функции f(x). Остается решить равенст-
во
(
)
22 0
xx
exe⋅−−⋅ = или
(
)
21
x
x
e
−
=− .
Решая это трансцендентное уравнение методом последовательных при-
ближений, получим x
м
= 1,59. Произведя обратную замену, найдем частоту мо-
ды ω
м
, соответствующей максимуму функции спектральной плотности числа
фононов f(ω):
1, 59
ω
М
kT
=
h
.
Тогда искомое среднее число фононов в этой моде рассчитаем по формуле
(2.2)
1,59ω
11
0, 26
1
1
kT
e
n
e
==≈
−
−
h
.
Пример 5
Сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания одного моля
железа на ΔT = 10 К от температуры T
1
= 0 К и от температуры T
2
= 900
К. Для железа температура Дебая θ
D
= 470 К.
Решение
Учитывая малое увеличение объема железа при нагревании, первое начало
термодинамики можно записать в виде Q ≈ ΔU. Тогда при низких температурах,
с учетом формулы (2.9)
, необходимое для нагревания количество теплоты бу-
дет равно
hω
Для упрощения последующих преобразований произведем замену = x.
kT
3V ⋅ ( kT )
2
x2 x2
Тогда f ( x) = 2 3 ⋅ = a⋅ x ,
2π ⋅ CЗВ ⋅ h 2 e x − 1 e −1
3V ⋅ ( kT )
2
где a = . Заметим, что при x → 0 и при x → ∞ эта неотрицательная
2π 2 ⋅ Cзв
3
⋅ h2
функция стремится к нулю. Значит, где-то между нулем и бесконечностью
должен быть максимум функции f(x). Дифференцируя полученное выражение
по x, и приравнивая результат к нулю, получаем
( )
2 x ⋅ e x − 1 − x2 ⋅ e x
=0 или
x
( )
⋅ 2 ⋅ ex − 2 − x ⋅ ex = 0 .
( ) ( )
2 2
ex − 1 ex − 1
Удовлетворяющие этому уравнению значения x = 0 и x = ∞, как отмеча-
лось выше, соответствуют минимумам функции f(x). Остается решить равенст-
во
(
2 ⋅ e x − 2 − x ⋅ e x = 0 или )
x = 2 1 − e− x . ( )
Решая это трансцендентное уравнение методом последовательных при-
ближений, получим xм = 1,59. Произведя обратную замену, найдем частоту мо-
ды ωм , соответствующей максимуму функции спектральной плотности числа
фононов f(ω):
1,59kT
ωМ = .
h
Тогда искомое среднее число фононов в этой моде рассчитаем по формуле
(2.2)
1 1
n = hω = 1,59 ≈ 0, 26 .
e −1
e kT − 1
Пример 5
Сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания одного моля
железа на ΔT = 10 К от температуры T1 = 0 К и от температуры T2 = 900
К. Для железа температура Дебая θD = 470 К.
Решение
Учитывая малое увеличение объема железа при нагревании, первое начало
термодинамики можно записать в виде Q ≈ ΔU. Тогда при низких температурах,
с учетом формулы (2.9), необходимое для нагревания количество теплоты бу-
дет равно
