Моделирование каталитических процессов. Кузнецов В.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
текает изотермический процесс при условии равенства концентрации и
температур в реакционном потоке и у поверхности зерна катализатора.
При такой постановке задачи стационарный процесс на зерне катализа-
тора для реакции первого порядка описывается следующей системой
уравнений с граничными условиями
0)(
2
2
2
=−+ rC
D
k
dr
dC
r
dr
Cd
э
. (18)
dc/dr = 0 при r = 0;
C(R) = C
0
при r = R.
Решение линейного дифференциального уравнения (18) имеет вид
).(
1
)(
/
2
/
1
ээ
DkrDkr
eAeA
r
rC
−
+=
Поскольку С(0) конечно, А
1
= -А
2
= А, то
,/
2
)()(
//
э
DkrDkr
Dkshr
r
A
ee
r
А
rC
ээ
=−=
−
(19)
где
2/)(/
//
ээ
DkrDkr
eeD э kshr
−
−=
- гиперболический синус.
Значение константы А найдем из граничного условия
,/
2
)(
0 э
DkshR
R
A
CRC ==
и после подстановки в уравнение (19) получим
r
Dkshr
DkshR
RC
r С
э
э
/
/
)(
0
=
(20)
Введем обозначения
э
DkR /= ϕ
. Параметр ϕ называют модулем Тиле для
реакции первого порядка. Модуль Тиле зависит от характеристики зерна
(R), константы скорости химической реакции (k), диффузии внутри пор ка-
тализатора (D
э
). С учетом модуля Тиле уравнение (20) примет вид
ϕ
ϕ
sh
R
r
sh
Cr С
)(
)(
0
= . (21)
Уравнение (21) характеризует распределение концентрации реагента внутри
зерна катализатора. Проанализируем полученное выражение. При ϕ→ 0/0 от-
ношение гиперболических синусов переходит в неопределенность типа 0/0. Та-
кую неопределенность раскрывают по правилу Лопиталя. Тогда С (r) = С
о
,
т. е. концентрация реагента постоянна во всем объеме зерна катализатора.
Лимитирующей стадией является химическая реакция в порах зерна. Процесс
протекает в кинетической области .
При ϕ→∞ получим неопределенность типа
∞
∞
, которую раскрывают по
правилу Лопиталя, а гиперболический косинус ch ϕ = 2/)(
ϕϕ −+
+ ее заменяют
экспонентой , тогда
)/1(
0
)(
Rr
eCr С
−−
=
ϕ
. (22) 
                                                        15



тек ает изотермическ ий процесс при у словии равен ства к он цен трации и
температу р в реак цион н ом поток е и у поверхн ости зерн а катализатора.
П ри такой постан овк езадачи стацион арн ы й процессн а зерн ек атализа-
тора для реак ции первого порядк а описы вается следу ю щей системой
у равн ен ий с гран ичн ы ми у словиями
                                d 2 C 2 dC k
                                     +    −  C (r ) = 0 . (18)
                                dr 2 r dr Dэ
  dc/dr = 0 при r = 0;
  C(R) = C0 при r = R.
  Реш ен иелин ей н ого диф ф ерен циальн ого у равн ен ия (18) имеетвид
                                        1                                 − r k / Dэ
                                C (r ) = ( A1e                   + A2 e
                                               r        k / Dэ
                                                                                       ).
                                        r
  П оскольк у С (0) кон ечн о, А1 = -А2 = А, то
                            А r k / Dэ          − r k / Dэ    2A
                  C (r ) =     (e            −e            )=    shr k / Dэ , (19)
                            r                                  r
                              − r k / Dэ
гдеshr k / Dэ = (e r k / D
                       э
                           −e            ) / 2 - гипе       рболический син у с.
  Зн ачен иекон стан ты А н айдем из гран ичн ого у словия
                                                          2A
                                      C ( R) = C0 =          shR k / Dэ ,
                                                          R
и послеподстан овк и в у равн ен ие(19) полу чим
                                           C0 R         shr k / Dэ
                           С (r ) =                                                (20)
                                      shR k / Dэ                 r
В ведем обозн ачен ия ϕ = R k / Dэ . П араметр ϕ н азы ваю тмоду лем Т иле для
реакции первого порядка. М оду ль Т илезависит от характеристики зерн а
(R), кон стан ты скорости химической реакции (k), диф ф у зии вн у три пор ка-
тализатора (Dэ ). С у четом моду ля Т илеу равн ен ие(20) приметвид
                                                         r
                                                   sh(ϕ    )
                                 С (r ) = C 0            R .              (21)
                                                      shϕ

    У равн ение(21) характеризу етраспределен иекон цен трации реаген тавн у три
зерн а катализатора. П роан ализиру ем полу чен н оевы раж е
                                                           н ие. П ри ϕ→ 0/0 от-
н ош е н иегиперболиче ских син у сов переходитв н еопределенн остьтипа0/0. Т а-
ку ю н еопределен н ость раск ры ваю т по правилу Л опиталя. Т огда С (r) = С о,
т. е. кон цен трация реаген та постоян н а во всем объ емезе  рн а катализатора.
Л имитиру ю щей стадие   й является химическая реакция в порах зерн а. П роцесс
протекаетв кин е  тической области.
                                               ∞
  П ри ϕ→∞ полу чим н еопределен н ость типа     , к отору ю раскры ваю тпо
                                               ∞
правилу Л опиталя, а гиперболический косин у сch ϕ = (е +ϕ + е −ϕ ) / 2 заменяю т
э кспон ентой, тогда
                                      С (r ) = C 0 e −ϕ (1−r / R ) .          (22)

Страницы