Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

42
Ниже представлен аналитический вывод выражения, поясняющие
графическое определение АКФ прямоугольного импульса:
() () ( ) ( ) ( )
()
()
00
0
0
0
0
111
2
2
0
2
2
00
2
22
000
2
0
0
2
00
0
,0
,0
,0 ,0
0
0
(), ,
0.
t
t
R t s t s t rect rect t d
Ad t
At t
Ad t A t t
t
t
Att
t
ττ
τ
τ
τ
τ
τττ
ττ
ττ
ττ τ τ
τ
τ
ττ
τ
∞
−∞
−+
+
−
=∗−= ⋅ −=
≤≤
−≤≤
=−≤<=+−≤<=


>
>
−≤
=
>
∫
∫
∫
(2.78)
Теперь определим вторую компоненту R
∆
(t) искомой АКФ. Поскольку
функция ∆(t) состоит только из δ-функций, воспользуемся правилом для
свёртки δ-функций:
()() ( )
()
12 12
AtT tT AtTT
δδ δ
⋅−∗−=⋅−+ . (2.79)
Автокорреляционная функция сигнала ∆(t) будет иметь вид
() () ( )
() ( ) ( ) () () ( ) ( )
00 00
00 00 00 00
00 00
22 22
22 22 22 22
2.
Rt t t
tt tt
tttt
tt t t tt t
ττ ττ
δδ δδ
ττ ττ ττ ττ
δδδδ
δδτδτδ δδτδτ
∆
=∆ ∗∆ − =


=+−−∗−−+=





=−+−−−−++++−=


= − −− ++ = − +− −
(2.80)
Результаты определения корреляционных функций R
1
(t) и R
∆
(t)
показаны на рис. 2.37. 
     Ниже представлен аналитический вывод выражения, поясняющие
графическое определение АКФ прямоугольного импульса:
                                                       ∞
                   R1 ( t ) = s1 ( t ) ∗ s1 ( −t ) =   ∫ rectτ (τ ) ⋅ rectτ (τ − t ) dτ =
                                                               0              0
                                                       −∞

                    τ 0 2 A2 dτ , 0 ≤ t ≤ τ
                    ∫−τ 0 2+t                   0
                                                        A2 (τ 0 − t ) , 0 ≤ t ≤ τ 0
                   τ 0 2+t 2                         
               = ∫            A dτ , −τ 0 ≤ t < 0 =  A2 (τ 0 + t ) , −τ 0 ≤ t < 0 =
                      −τ 2
                    0                                 0                t > τ0
                 0                   t >τ0            
                 
                                        A2 (τ 0 − t ), t ≤ τ 0 ,
                                      =                                                                    (2.78)
                                        0               t > τ 0.
     Теперь определим вторую компоненту R∆(t) искомой АКФ. Поскольку
функция ∆(t) состоит только из δ-функций, воспользуемся правилом для
свёртки δ-функций:
                            A ⋅ δ ( t − T1 ) ∗ δ ( t − T2 ) = A ⋅ δ ( t − (T1 + T2 ) ) .                    (2.79)
     Автокорреляционная функция сигнала ∆(t) будет иметь вид
                                        R∆ ( t ) = ∆ ( t ) ∗ ∆ ( −t ) =
                      τ            τ    τ                   τ 
                  = δ  t + 0  − δ  t − 0   ∗ δ  t − 0  − δ  t + 0   =
                           2           2            2           2 
             τ τ                   τ τ                    τ τ                  τ τ 
        = δ t − 0 + 0  −δ t − 0 − 0  −δ t + 0 + 0  +δ t + 0 − 0  =
                   2 2                  2 2                  2 2                    2 2
         = δ ( t ) − δ ( t − τ 0 ) − δ ( t + τ 0 ) + δ ( t ) = 2δ ( t ) − δ ( t + τ 0 ) − δ ( t − τ 0 ) .   (2.80)
     Результаты определения корреляционных функций R1(t) и R∆(t)
показаны на рис. 2.37.




42

Страницы