Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

43
t
–
τ
0
/
2
А
t
–
τ
0
τ
0
А
2
τ
0
s
1
(t)
τ
0
/
2
∗
=
0
t
∆(t)
(1)
–
τ
0
/
2
τ
0
/
2
(–1)
t
–
τ
0
/
2
А
s
1
(-t)
τ
0
/
2
t
∆(-t)
(1)
–
τ
0
/
2
τ
0
/
2
(–1)
∗
R
1
(t)
t
(2)
(–1)
=
(–1)
R
∆
(t)
–
τ
0
τ
0
Рис. 2.37. АКФ сигналов s
1
(t) и ∆(t)
Таким образом, автокорреляционная функция сигнала s(t) может быть
получена свёрткой функций R
1
(t) и R
∆
(t) (рис. 2.38):
() () () () () ( ) ( ){}
() ( ) ( )
.2
2
01011
0011
ττ
τδτδδ
−−+−=
=−−+−∗=∗=
∆
tRtRtR
ttttRtRtRtR
(2.81)
t
-
τ
0
τ
0
∗
=
0
R(t)
t
(2)
τ
0
t
–
τ
0
τ
0
0
R
1
(t)
–
2
τ
0
2
τ
0
(–1) (–1)
R
∆
(t)
–
τ
0
А
2
τ
0
2А
2
τ
0
–А
2
τ
0
–
R
1
(
t
–
τ
0
)
–
R
1
(
t
+
τ
0
)
2R
1
(t)
Рис. 2.38. Процедура определения АКФ сигнала s(t)
Энергетический спектр сигнала s(t) найдем с помощью свойства
преобразования Фурье для свёртки функций во временной области:
()
()
() ( )
() ()
() ()
() ()
,
1
1
fWfW
tRtR
fSfS
tsts
fW
tR
∆
∆
∗
⋅
∗
=
=
⋅
−∗
=
=
ccc
(2.82)
причём
() () ( ) () () () ()
() () ( ) () () () ()
2
111 1 11 1
2
.
F
F
Rt st s t Wf SfS f Sf
Rt sts t Wf SfSf Sf
∗
∗
∆∆∆ ∆ ∆∆ ∆
=∗−⇔ = ⋅ =
=∗−⇔ = ⋅ =
(2.83)
Спектры прямоугольного импульса S
1
( f ) и суммы задержанных
δ-функций хорошо известны: 
                          s1(t)                               s1(-t)                                      R1(t)
                      А                                  А                                      2
                                                                                              А τ0
                                  t        ∗                             t           =                                     t
                –τ 0/2 τ 0/2                       –τ 0/2 τ 0/2                           –τ 0 0              τ0
                           ∆(t)                               ∆(-t)                                       R∆(t)
                                                                                                (2)
               (1)                                                 (1)
                          τ 0/2       t    ∗      –τ 0/2                     t       =    –τ 0                τ0       t
                –τ 0/2                                        τ 0/2
                              (–1)               (–1)                                    (–1)            (–1)

                                  Рис. 2.37. АКФ сигналов s1(t) и ∆(t)

     Таким образом, автокорреляционная функция сигнала s(t) может быть
получена свёрткой функций R1(t) и R∆(t) (рис. 2.38):
             R(t ) = R1 (t ) ∗ R∆ (t ) = R1 (t ) ∗ {2δ (t ) − δ (t + τ 0 ) − δ (t − τ 0 )} =
                              = 2 R1 (t ) − R1 (t + τ 0 ) − R1 (t − τ 0 ).                   (2.81)

                          R1(t)                              R∆(t)                                            R(t)
                                                                                                    2
                                                  (2)                                           2А τ0             2R1(t)
               А2τ0
                                  t       ∗ –τ 0                τ0       t       =   –2τ 0 -τ 0           0     τ 0 2τ 0 t
             –τ 0 0         τ0
                                          (–1)              (–1)                 –R1(t + τ 0)           –А2τ0 –R1(t – τ 0)
                      Рис. 2.38. Процедура определения АКФ сигнала s(t)

     Энергетический спектр сигнала s(t) найдем с помощью свойства
преобразования Фурье для свёртки функций во временной области:
                                   R(t ) = s(t ) ∗ s (− t ) = R1 (t ) ∗ R∆ (t )
                                    c               c                   c                                                      (2.82)
                                  W ( f ) = S ( f ) ⋅ S ( f ) =W1 ( f ) ⋅ W∆ ( f ),
                                                       ∗


причём
                                                        F                                                          2
                 R1 ( t ) = s1 ( t ) ∗ s1 ( −t ) ⇔ W1 ( f ) = S1 ( f ) ⋅ S1∗ ( f ) = S1 ( f )
                                                     F                                                                 2
                                                                                                                               (2.83)
               R∆ ( t ) = s∆ ( t ) ∗ s∆ ( −t ) ⇔ W∆ ( f ) = S∆ ( f ) ⋅ S                  ∗
                                                                                          ∆   (f)=        S∆ ( f ) .
       Спектры прямоугольного импульса S1( f ) и суммы задержанных
δ-функций хорошо известны:




                                                                                                                                  43

Страницы