Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52
()
1
F
m
k
m
tkT f
TT
δδ
∞∞
=−∞
=−∞

⋅


−⇔ −
∑∑
. (3.15)
Таким образом, спектр аналогового периодического сигнала s
Т
(t)
определяется прямым преобразованием Фурье временной функции
периодического сигнала, а значит для него справедливы все теоремы о
свойствах преобразования Фурье, в том числе и свойство свёртки сигналов во
времени:
()
()
()
2
1
1
,B c,
jft
TT
m
mm
m
Sf ste dtSf f
TT
mm m
Sf Cmf
TT T T
π
δ
δδ
∞
∞
−
=−∞
−∞
∞∞
=−∞ =−∞



 

 

 
==⋅−=
=⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅
∑
∫
∑∑
(3.16)
где комплексные веса δ-функций на частотах, кратных 1/T, представляющие
собой коэффициенты разложения периодического сигнала в ряд Фурье,
определяющиеся выражением
1 m
Cm S
TT





=⋅
, В. (3.17)
Главной особенностью такого представления спектра периодического
сигнала является определение коэффициентов Фурье через известный спектр
импульсного сигнала путём взятия его отсчётов в соответствии с (3.17).
Таким образом, основными характеристиками аналогового
периодического сигнала являются временная
s
T
(t) и спектральная C[m]
функции сигнала, связанные между собой комплексным рядом Фурье (
Fou-
rier Series
– FS):
()
FS
T
s
tCm
⇔
. (3.18)
Для сравнения периодических сигналов друг с другом используются
параметры сигналов и спектров. Основными параметрами аналогового
периодического сигнала является его
средняя мощность Р
ср
и ширина
спектра
F
М
. Под средней мощностью сигнала s
Т
(t) понимается площадь под
квадратом временной функции сигнала в пределах периода
Т, отнесённая к
этому периоду:
()
2
2
2
cp
1
T
T
T
dt
T
P
s
t
−
=
∫
, В
2
. (3.19)
Согласно теореме Парсеваля для периодических сигналов среднюю
мощность можно определить и с помощью коэффициентов ряда Фурье:
[] [] []
2
mm
cp
PCmCmCm
∞∞
∗
=−∞ =−∞
=⋅=
∑∑
, В
2
. (3.20) 
                           ∞                              ∞
                                              F     1                  m
                          ∑
                         k =−∞
                                 δ ( t − kT ) ⇔ ⋅
                                                    T    ∑ δ  f − T  .
                                                        m=−∞ 
                                                                                   (3.15)

     Таким образом, спектр аналогового периодического сигнала sТ(t)
определяется прямым преобразованием Фурье временной функции
периодического сигнала, а значит для него справедливы все теоремы о
свойствах преобразования Фурье, в том числе и свойство свёртки сигналов во
                        ∞
времени:                                                     1 ∞      m
             ST ( f ) = ∫ sT ( t ) e− j 2π f t dt = S ( f ) ⋅ ∑ δ  f −  =
                        −∞
                                                             T m=−∞   T
                1 ∞ m            m   ∞
                                                            m
            =    ⋅ ∑ S   ⋅ δ  f −  = ∑ C m  ⋅ δ  f −  , B ⋅ c,           (3.16)
                T m=−∞  T        T  m=−∞                T
где комплексные веса δ-функций на частотах, кратных 1/T, представляющие
собой коэффициенты разложения периодического сигнала в ряд Фурье,
определяющиеся выражением
                                      1  m
                           C  m  = ⋅ S   , В.                (3.17)
                                      T T 
       Главной особенностью такого представления спектра периодического
сигнала является определение коэффициентов Фурье через известный спектр
импульсного сигнала путём взятия его отсчётов в соответствии с (3.17).
       Таким      образом, основными     характеристиками      аналогового
периодического сигнала являются временная sT(t) и спектральная C[m]
функции сигнала, связанные между собой комплексным рядом Фурье (Fou-
rier Series – FS):                 FS
                              s t ⇔ C m .
                                         T   ()                      (3.18)
     Для сравнения периодических сигналов друг с другом используются
параметры сигналов и спектров. Основными параметрами аналогового
периодического сигнала является его средняя мощность Рср и ширина
спектра FМ. Под средней мощностью сигнала sТ(t) понимается площадь под
квадратом временной функции сигнала в пределах периода Т, отнесённая к
этому периоду:
                                              T 2
                                          1
                                     Pcp = ∫ sT2
                                          T −T 2
                                                        (t ) dt , В2.              (3.19)

    Согласно теореме Парсеваля для периодических сигналов среднюю
мощность можно определить и с помощью коэффициентов ряда Фурье:
                                 ∞                            ∞

                                 ∑ C [ m ] ⋅ C ∗ [ m] =    ∑ C [ m]
                                                                        2     2
                        Pcp =                                               ,В .   (3.20)
                                m =−∞                     m =−∞

52

Страницы