Спектральный и временной анализ импульсных и периодических сигналов. Кузнецов Ю.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

54
Помимо временной и спектральной функций в качестве характеристик
периодических сигналов используют также автокорреляционную функцию
R
Т
(t) и спектр мощности P[m].
Автокорреляционная функция (АКФ) аналогового периодического
сигнала может быть найдена следующим образом во временной области:
() () ( ) () ( )
2
2
11
T
TTT TT
T
Rt st s t s s td
TT
τττ
−
⋅=⊗−=⋅ ⋅−
∫
, В
2
, (3.25)
где «⊗» – операция круговой свёртки.
АКФ R
Т
(t) периодического сигнала является также периодической
функцией, значение АКФ при t = 0 равно средней мощности сигнала:
()
()
2
2
2
cp
1
0
T
TT
T
d
T
RP t
s
t
−
==
∫
. (3.26)
Операции круговой свёртки двух периодических функций с
одинаковыми периодами соответствует произведение их коэффициентов
Фурье с весовым коэффициентом Т :
() () ( ) ( )
2
2
FS
T
TT TT
T
x TXm Ymxt yt yt d
τττ
−


⇔⋅ ⋅⊗= ⋅−
∫
. (3.27)
Отсчёты спектра мощности P[m] аналогового периодического сигнала
s
Т
(t) являются коэффициентами ряда Фурье для АКФ R
Т
(t)
()
FS
T
R
tPm
⇔
(3.28)
и связаны с энергетическим спектром W
S
( f ) исходного импульсного сигнала
s(t) следующими соотношениями (выражения (3.10
), (3.17), (3.25) и (2.26)):
()
2
2
2
2
111
e
S
T
t
jm
T
T
T
m
Pm R t dt TCm C m W
TT T
T
π
−
∗
−

  
=⋅

  

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
∫
, В
2
. (3.29)
По аналогии с (3.16) спектр мощности Р
Т
( f ) периодического сигнала
может быть определён в виде суммы δ-функций по частоте с весами,
равными отсчётам мощности P[m] соответствующих гармоник:
() ()
2
1
S
T
mm
mm
Pf Wf f Pm f
TT
T
δδ
∞∞
=−∞ =−∞
 

 

 
=⋅ ⋅ − = ⋅ −
∑∑
, В
2
⋅с. (3.30)
Связь между АКФ R
S
(t) аналогового импульсного сигнала s(t) и АКФ
R
Т
(t) периодического сигнала s
Т
(t) может быть найдена с помощью обратного
преобразования Фурье от выражения (3.30): 
       Помимо временной и спектральной функций в качестве характеристик
периодических сигналов используют также автокорреляционную функцию
RТ(t) и спектр мощности P[m].
       Автокорреляционная функция (АКФ) аналогового периодического
сигнала может быть найдена следующим образом во временной области:
                                                                T 2
                            1                        1
                   RT (t ) = ⋅ sT ( t ) ⊗ sT ( −t ) = ⋅ ∫ sT (τ ) ⋅ sT (τ − t ) dτ , В2,              (3.25)
                            T                        T −T 2
где «⊗» – операция круговой свёртки.
      АКФ RТ(t) периодического сигнала является также периодической
функцией, значение АКФ при t = 0 равно средней мощности сигнала:
                                                                T 2
                                         RT ( 0) = Pcp = 1 ∫ sT2
                                                         T −T 2        ( t ) dt .                     (3.26)

     Операции круговой свёртки двух периодических функций с
одинаковыми периодами соответствует произведение их коэффициентов
Фурье с весовым коэффициентом Т :
                                         T 2                                FS
                 xT ( t ) ⊗ yT ( t ) =    ∫     xT   (τ ) ⋅ yT (t −τ ) dτ ⇔ T ⋅ X  m ⋅Y m .   (3.27)
                                         −T 2
       Отсчёты спектра мощности P[m] аналогового периодического сигнала
sТ(t) являются коэффициентами ряда Фурье для АКФ RТ(t)
                                                           FS
                                                 RT ( t ) ⇔ P m                                   (3.28)
и связаны с энергетическим спектром WS( f ) исходного импульсного сигнала
s(t) следующими соотношениями (выражения (3.10), (3.17), (3.25) и (2.26)):
                   T 2
               1                  − j 2π m t
     P  m = ⋅ ∫ R T ( t ) ⋅ e         T dt = 1 ⋅ T ⋅ C  m  ⋅ C ∗  m  = 1 ⋅W  m  , В2.       (3.29)
               T −T 2                            T                     T2 S T 
                                                                                     
     По аналогии с (3.16) спектр мощности РТ( f ) периодического сигнала
может быть определён в виде суммы δ-функций по частоте с весами,
равными отсчётам мощности P[m] соответствующих гармоник:
                                 ∞             ∞
                   1                     m                     m
        PT ( f ) = 2 ⋅WS ( f ) ⋅ ∑ δ  f −  = ∑ P  m ⋅δ  f −  , В2⋅с. (3.30)
                  T             m=−∞     T  m=−∞               T
       Связь между АКФ RS(t) аналогового импульсного сигнала s(t) и АКФ
RТ(t) периодического сигнала sТ(t) может быть найдена с помощью обратного
преобразования Фурье от выражения (3.30):


54

Страницы