Составители:
Рубрика:
10
Минором некоторого элемента
ij
a определителя n -го порядка
называется определитель 1
n − -го порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания
i -ой строки и
j
-го столбца. Обозначается
ij
m .
Так, если
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
Δ=
, то
22 23 11 13
11 32
32 33 21 23
,
aa aa
mm
aa aa
==
.
Алгебраическим дополнением элемента
ij
a определителя называется
его минор, взятый со знаком
(
)
1
ij
+
− . Обозначается
ij
A
:
(
)
1
ij
ij ij
A
m
+
=− .
Так,
11 11 32 32
,
A
mA m=+ =− .
Теорема I.1 (Теорема Лапласа) определитель квадратной матрицы
равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
11
nn
ik ik kj kj
kk
aA aA
==
Δ
=⋅=⋅
∑∑
.
Доказательство:
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. В этом
случае формула запишется так
131312121111
AaAaAa ⋅
+
⋅
+
⋅
=
Δ
. Подставим
алгебраические дополнения и получим
()()()
Δ=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+
+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=
=⋅+⋅−⋅=⋅+⋅+⋅
312213322113312312
332112322311332211
312232211331233321123223332211
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11131312121111
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
aAaAaAa
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Квадратная матрица
A
называется невырожденной, если ее
определитель не равен нулю: det 0
A
Δ
=≠. В противном случае матрица
называется вырожденной.
Матрицей,
союзной к матрице
A
, называется матрица
11 21 1
12 22 2
*
12
n
n
nn nn
A
AA
A
AA
A
A
AA
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
K
KKKK
K
, где
ij
A
– алгебраическое дополнение
элемента
ij
a данной матрицы
A
.
Матрица
1
A
−
называется обратной матрице
A
, если выполняется
условие
11
A
AAAE
−−
⋅=⋅=
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
