Составители:
Рубрика:
11
Теорема I.2. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Доказательство:
Проведем доказательство для случая матрицы 2-го порядка. Пусть
11 12
21 22
,det 0
aa
AA
aa
⎛⎞
=≠
⎜⎟
⎝⎠
.
Составим союзную матрицу
11 21
*
12 22
A
A
A
A
A
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
и найдем произведение матриц
A
и
*
A
:
11 12 11 21 11 11 12 12 11 21 12 22
*
21 22 12 22 21 11 22 12 21 21 22 22
det 0 1 0
det det
0det 01
a a A A aA aA aA aA
AA
a a A A aA aA aA aA
A
AAE
A
++
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⋅= ⋅ = =
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
++
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛⎞⎛⎞
==⋅=⋅
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
т.е.
*
*
det
det
A
A
AAEA E
A
⋅= ⋅⇒⋅ =.
Аналогично убедимся, что
*
*
det
det
A
A
AAE AE
A
⋅
=⋅⇒ ⋅=.
Сравнивая полученные равенства с определением, получаем
11 21
1
12 22
1
det
A
A
A
A
A
A
−
⎛⎞
=⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Доказательство теоремы дает алгоритм вычисления обратной
матрицы:
•
Находим определитель исходной матрицы. Если 0A = , то
матрица вырожденная и
1
A
−
не существует. Если 0A ≠ , то
матрица невырожденная и
1
A
−
существует.
• Находим матрицу состоящую из алгебраических дополнений.
•
Транспонируем ее и получаем союзную матрицу.
•
Каждый элемент этой матрицы делим на определитель.
Пример. Найдем матрицу, обратную к
111
211
112
A
−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Решение: находим определитель матрицы
111
21150
112
A
−
=
=≠.
Строим алгебраические дополнения:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
