Составители:
Рубрика:
14
Доказательство:
Пусть для определенности 0
m
λ
≠
, тогда
12 1
12 1
m
mm
mm m
eee e
λλ λ
λλ λ
−
−
⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
=− +− + +−
⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠
K .
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда,
когда все коэффициенты равны нулю, т.е.
12
0
m
λ
λλ
=
== =K , то строки
12
,, ,
m
ee eK называются линейно независимыми.
Теорема I.4 (о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному
числу ее линейно независимых строк, через которые линейно выражаются
все остальные ее строки.
Доказательство:
Пусть матрица
A
размера mn
×
имеет ранг
r
. Это означает, что
существует отличный от нуля минор
r -го порядка. Пусть для
определенности это
11 12 1
21 22 2
12
0
r
r
rr rr
aa a
aa a
aa a
≠
K
K
K KKK
K
Докажем, что строки
12
,, ,
r
ee eK
линейно независимы. Предположим
противное, что
11 2 2 1 1rrr
eee e
λ
λλ
−
−
=
+++K . Вычтем из нее первую строку
умноженную на
1
λ
, вторую на
2
λ
и т.д. На основании свойств
определителя при этом определитель не изменится. С другой стороны
определитель, содержащий нулевую строку равен нулю. Предположение
неверно. Строки
12
,, ,
r
ee eK
линейно независимы.
Покажем, что любые
(
)
1r
+
строк линейно зависимы, т.е. любая
строка выражается через
12
,, ,
r
ee eK . Рассмотрим минор
(
)
1r + -го порядка,
добавив
i -ю строку и
j
-й столбец:
11 12 1 1
21 22 2 2
12
12
rj
rj
rr rrrj
i i ir ij
aa aa
aa aa
aa a a
aa a a
K
K
K KKK K
K
K
Этот минор равен нулю, т.к. ранг равен
r . Разложим его по
последнему столбцу
11 2 2
0
j j j j rj rj ij ij
aA aA aA aA++++=K . Алгебраическое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
