Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
Умножив обе части уравнения
A
XB
⋅
=
слева на матрицу
1
A
−
,
получим
11
A
AXAB
−−
⋅⋅ = ⋅
. Поскольку
1
A
AE
−
⋅
=
и
E
XX⋅=
, то
1
XAB
−
=⋅.
Пример. Решим систему
41
262
3313 2
xy z
xy z
xy z
+=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
+
+=
⎩
.
Решение: обозначим
11 4 1
21 6, 2,
3313 2
x
A
BXy
z
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
===
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
Т.к.
11 4
21 6 10
3313
A ==−≠, значит обратная матрица существует
1
512
812
30 1
A
−
−
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
. Тогда
1
5121 3
8122 2
30 12 1
XAB
−
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
=⋅= −−⋅=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−
−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
Матричное решение запишем в виде
11121 11
21222 22
12
1
n
n
nnnnnn
xAA Ab
xAAAb
xAA Ab
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
=⋅=
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
Δ
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
K
K
M K KKK M
K
11 1 21 2 1
12 1 22 2 2
11 2 2
nn
nn
nn nnn
A
bAb Ab
A
bAb Ab
A
bAb Ab
+++
⎛⎞
⎜⎟
Δ
⎜⎟
+++
⎜⎟
⎜⎟
=
Δ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+++
⎜⎟
⎝Δ⎠
K
K
KKKKKKKKKK
K
Отсюда следует, что
11 1 21 2 1
1
11 2 2
nn
nn nnn
n
A
bAb Ab
x
A
bAb Ab
x
+++
=
Δ
+++
=
Δ
K
KKKKKKKKKK
K
.

Страницы