Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

20
Теперь можно из последнего уравнения выразить
*
*
n
n
nn
b
x
a
=
,
подставить найденное
n
x
в предыдущее уравнение, найти
1n
x
−
и далее
обратным ходом к первому уравнению. В этом случае
()
()
rA rAB n==,
а система имеет единственное решение.
II
Число неизвестных меньше числа уравнений
11 1 12 2 1 1 1
** **
22 2 2 2 2
***
*
1
0 0
kk nn
kk nn
nk k nn n n
knn
ax ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax b
x
xb
+
+++++=
++ ++ =
+
+=
⋅++⋅=
KK
KK
KKKKKKKKKKKK
K
K
KKKKKKKKKKKK
*
0 0
knr
x
xb
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⋅++⋅=
⎩
K
,
** *
12
,,, 0
nn r
bb b
++
≠K
В этом случае
(
)
(
)
rA rAB< , тогда некоторые уравнения системы
противоречат остальным, т.е. система несовместна.
III
Число уравнений меньше числа неизвестных
11 1 12 2 1 1 1
** **
22 2 2 2 2
***
kk nn
kk nn
kk k kn n k
ax ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax b
+++++=
⎧
⎪
++ ++ =
⎪
⎨
⎪
⎪
++ =
⎩
KK
KK
KKKKKKKKKKKK
K
Выберем неизвестные соответствующие базисному минору
1
,,
r
xK
и будем считать их главными, а остальные неизвестные
12
,,,
rr n
x
xx
++
K
примем за параметры, т.е. будем считать, что они принимают любые
значения. Тогда
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
**** *
22 2 2 2 2 1 1 2
*** *
11
rr r r nn
rr r r nn
rr r r rr r rn n
ax ax ax b a x ax
ax ax b a x ax
ax b a x ax
++
++
++
+++=− −−
⎧
⎪
++ =− −−
⎪
⎨
⎪
⎪
=− −−
⎩
KK
KK
KKKKKKKKKKKK
K
Система имеет бесконечное множество решений. В этом случае
(
)
(
)
rA rAB n=<.
Обобщим полученные результаты в теореме Кронекера-Капелли.
Теорема II.1 Система линейных алгебраических уравнений
совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы
равен рангу основной матрицы.

Страницы