Составители:
Рубрика:
21
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система уравнений называется однородной, если все ее свободные
члены
12
,, ,
m
bb bK равны нулю.
Пусть дана система линейных однородных уравнений
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
nn
nn
mm mnn
ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax
+++=
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
⎪
⎪
+++=
⎩
K
K
KKKKKKKKKKKK
K
.
Свойства однородной системы:
1. Однородная система всегда совместна т.к., она имеет нулевое
(тривиальное) решение
12
0
n
xx x
=
===K .
2. Если X и Y два решения однородной системы, то линейная
комбинация этих решений
XY
λ
μ
+
также является решением
системы.
3. Если система имеет хотя бы одно не нулевое решение, то она имеет
бесконечно много решений.
Теорема II.2 Для того, чтобы система однородных уравнений имела
ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной
матрицы был меньше числа неизвестных, т.е. rn
<
.
Необходимость
Очевидно
rn
≤
. Пусть rn
=
. Тогда один из миноров размера nn
×
отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное решение:
0, 0, 0
i
ii
x
Δ
==Δ=Δ≠
Δ
. Значит, других, кроме тривиальных, решений нет.
Итак, если есть нетривиальное решение, то
rn
<
.
Достаточность
Пусть
rn< . Тогда однородная система, будучи совместной, является
неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е.
имеет и ненулевые решения.
Совокупность решений
12
, , ,
k
XX XK
однородной системы
называется
фундаментальной системой решений, если
1.
12
, , ,
k
XX XK линейно независимы
2. любое решение системы
X
представимо в виде линейной
комбинации
11 kk
XX X
α
α
=++K
Пусть
rn< , тогда
1
,,
r
x
xK – главные переменные, а
1
,,
rn
x
x
+
K –
свободные переменные. Будем последовательно полагать одно из значений
свободной переменной равным 1, а остальных – равным 0. При этом
значения главных переменных можно рассчитать.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
