Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
nn
nn
mm mnnm
ax ax ax b
ax ax ax b
ax ax ax b
+++=
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
⎪
⎪
+++=
⎩
K
K
KKKKKKKKKKKK
K
Соответствующей ей однородной системой будем называть
систему
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
nn
nn
mm mnn
ax ax ax
ax ax ax
ax ax ax
+++=
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
⎪
⎪
+++=
⎩
K
K
KKKKKKKKKKKK
K
Свойства неоднородной системы:
1. Если Y решение неоднородной системы, а
X
решение
соответствующей однородной системы, то
Z
YX
=
+ решение
неоднородной системы.
2. Если Y и
Z
решение неоднородной системы, то XZY
=
− решение
соответствующей однородной системы.
3. Любое решение
Z
неоднородной системы представимо в виде
суммы
Z
YX=+ , где Y частное решение неоднородной системы, а
X общее решение соответствующей однородной системы.
4. Пусть
12
,,,
nr
XX X
−
K
фундаментальная система решений однородной
системы, а
Y
частное решение неоднородной системы, тогда
множество решений неоднородной системы представимо в виде
11 2 2 nr nr
Z
YcX cX cX
−
−
=+ + + +K
. Это выражение называется общим
решением системы.
Пример. Решим систему
12345
12345
12345
12345
23 0
22 2
14
23242 14
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
−
+− + =
⎧
⎪
+
−+−=
⎪
⎨
+−+=
⎪
⎪
−
+−+=
⎩
.
Решение: преобразуем расширенную матрицу системы
12 1310 12 1310
12 1310
212112 054732
~ ~0102014
1111114 0102014
0043368
2324214 0102014
⎛− − ⎞⎛− − ⎞
⎛− − ⎞
⎜⎟⎜⎟
−− −−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟
−−−−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠⎝⎠
(
)
(
)
35rA rAB n==<=
. Главные неизвестные выбираем по базисному
минору
123
,,
x
xx, свободным неизвестным придадим значения
4152
,
x
cx c==.

Страницы