Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

26
матрицу коэффициентов
прямых затрат
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
aa a
aa a
A
aa a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
K
KKKK
K
.
Система уравнений в матричном виде имеет вид
XAXY=+. Это
соотношение называется
уравнением линейного межотраслевого баланса.
Вместе с описанием матриц это уравнение носит название
модели
Леонтьева.
Это уравнение можно использовать в двух целях;
1. Если известен X , требуется рассчитать Y ;
2. Для целей планирования: для некоторого периода времени известен
Y и требуется определить
X
.
ПРОДУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА
Система уравнений имеет ряд особенностей, вытекающих из
характера данной задачи: все элементы матрицы и векторов должны быть
неотрицательными.
Матрица
A
, все элементы которой неотрицательны, называется
продуктивной, если для любого вектора Y с неотрицательными
компонентами существует решение уравнения
XAXY
=
+ , все элементы,
которого неотрицательны.
В этом случае и модель Леонтьева называется
продуктивной.
Для решения уравнения
XAXY
=
+ разработана соответствующая
математическая теория исследования решения и его особенностей.
Перепишем его в виде
(
)
E
AX Y
−
= . Если
(
)
E
A
невырожденная,
т.е.
0EA−≠, то существует обратная матрица
(
)
1
E
A
−
− , значит
существует и единственное решение:
()
1
XEAY
−
=− .
Матрица
()
1
SEA
−
=− называется матрицей полных затрат.
Выясним экономический смысл матрицы полных затрат
(
)
ij
Ss= .
Рассмотрим единичные векторы конечного продукта:
()()
1
1,0, ,0,0 , , 0,0, ,0,1
n
yy==KK K. Для них получаем соответствующие
векторы валового выпуска:
(
)
(
)
11121 1 12
,,, ,, ,,,
nnnnnn
x
ss s x ss s
=
=KK K.
Следовательно, каждый элемент матрицы полных затрат есть величина
валового выпуска продукции
i -ой отрасли, необходимого для обеспечения
выпуска единицы конечного продукта
j
-й отрасли.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы
A
:

Страницы