Составители:
Рубрика:
28
Пример. Выясним линейную зависимость или независимость
векторов
()
1; 2; 3a =
r
,
(
)
2; 1;1b =−
r
,
(
)
1; 3; 4c
=
r
.
Решение. Линейную комбинацию
123
abc
λ
λλ
++
r
r
r
приравняем к нулю
12 3
1210
2130
3140
λλ λ
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
+−+ =
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
. Решим относительно
123
, ,
λ
λλ
(если
123
0
λ
λλ
===, то векторы , , abc
rrr
- линейно независимы). Запишем в виде
системы уравнений
123
123
123
20
230
340
λ
λλ
λλλ
λλλ
++=
⎧
⎪
−+ =
⎨
⎪
++ =
⎩
.
Преобразуем матрицу системы
121 121
121
213~051~
051
314 051
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
.
(
)
23rA n=<=. Система имеет бесконечное множество решений, значит
векторы линейно зависимы.
Если ни один из векторов
12
,,,
n
aa a
r
rr
K
нельзя представить в виде
линейной комбинации остальных, то векторы
12
,,,
n
aa a
r
rr
K
называются
линейно независимыми.
Замечание 1. Можно доказать, что эти два определения
эквивалентны.
Совокупность любых трех линейно независимых векторов
123
,,ee e
rrr
в
трехмерном пространстве называется
базисом в пространстве.
Если
a
r
произвольный вектор, то всегда можно найти единственным
образом числа
123
,,
x
xx такие, что
11 2 2 3 3
axe xe xe=+ +
r
ur ur ur
. Числа
123
,,
x
xx
называются
координатами вектора a
r
в базисе
123
,,ee e
r
rr
.
Пример. Разложим вектор
(
)
2;3;1x
=
−
r
по базису векторов
(
)
1
1; 2; 1e =−
r
,
(
)
2
2;0;3e =−
r
,
(
)
3
1;1; 1e
=
−−
r
.
Решение. Запишем вектор
x
r
как линейную комбинацию векторов
1
e
r
,
2
e
r
,
3
e
r
:
12 3
1212
2013
1311
xx x
−−−
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
++=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟
−−
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠
. Решим систему уравнений
123
13
123
22
23
31
xxx
xx
xxx
−−=−
⎧
⎪
+=
⎨
⎪
−+ − =
⎩
. Преобразуем матрицу системы
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
