Составители:
Рубрика:
30
Выберем произвольный вектор
a
r
пространства и совместим его с
началом координат:
aOM=
uuuur
r
. Найдем проекции вектора a
r
на
координатные оси:
1
пр
x
aOM=
uuuur
r
,
2
пр
y
aOM=
u
uuuur
r
,
3
пр
z
aOM=
u
uuuur
r
.
По определению суммы векторов находим
123
aOM OM OM=++
u
uuur uuuuuruuuuur
r
.
Но
11
OM OM i=⋅
uuuur uuuur
r
,
22
OM OM j
=
⋅
uuuuuruuuuur
r
,
33
OM OM k
=
⋅
u
uuuuruuuuur
r
. Обозначив
проекции вектора
aOM=
uuuur
r
на оси Ox , Oy и Oz соответственно через
x
a ,
y
a и
z
a
, получим
xy z
aaia jak=⋅+⋅+⋅
r
rrr
Т.о. любой вектор трехмерного пространства можно разложить по
векторам ,,
ijk
rr r
. При этом сами векторы имеют разложения
(
)
1, 0, 0i
r
,
(
)
0,1,0j
r
,
(
)
0,0,1k
r
.
На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного
параллелепипеда можно написать:
22 22
123
OM OM OM OM=++
uuuur uuuur uuuuuruuuuur
, т.е.
2
222
x
yz
a aaa
=
++
r
или
222
x
yz
a aaa=++
r
Пусть углы вектора
a
r
с осями Ox , Oy и Oz соответственно равны
,,
α
βγ
. По свойству проекции вектора на ось, имеем
cos , cos , cos
xyz
aa aa aa
α
βγ
===
rrr
или
cos ,cos ,cos
y
x
z
a
aa
aaa
αβγ
===
rrr
Числа
cos ,cos ,cos
α
βγ
называются направляющими косинусами
вектора a
r
.
Подставив выражения
cos , cos , cos
xyz
aa aa aa
α
βγ
===
rrr
в равенство
2
222
x
yz
a aaa=++
r
и сократив его на
2
0a
≠
r
получим соотношение
222
cos cos cos 1
αβγ
++=
Действия над векторами, заданными координатами и координаты
вектора через координаты конца и начала известны из школьного курса.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Скалярным произведением двух ненулевых векторов a
r
и b
r
называется число
, равное произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними. Обозначается
(
)
, , ,ab a b a b⋅
r
ur r ur r r
.
cos , ,ab a b ab
ϕϕ
∧
⎛⎞
⋅= ⋅ ⋅ =
⎜⎟
⎝⎠
rr r r rr
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
