Составители:
Рубрика:
37
ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ
Определяется также как в случае трехмерных геометрических
векторов: если для системы
k векторов
12
,,,
k
aa a
r
rr
K
равенство
1
0
k
ii
i
a
λ
=
=
∑
r
r
верно только при
(
)
0 1, ,
i
ik
λ
==K , то эта система называется линейно
независимой.
Следовательно, решение вопроса о линейной зависимости или
независимости системы из
k n -мерных векторов сводится к исследованию
линейной однородной системы
n уравнений с k неизвестными:
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
11 2 2
0
0
0
kk
kk
nn nkk
aa a
aa a
aa a
λλ λ
λλ λ
λλ λ
+++=
⎧
⎪
+++=
⎪
⎨
⎪
⎪
+++=
⎩
K
K
KKKKKKKKKKKK
K
.
Можно показать, что если векторы
12
,,,
k
aa a
r
rr
K
линейно зависимы, то
хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации
остальных и наоборот.
БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Любая совокупность n линейно независимых векторов
12
,, ,
n
ee e
rr r
K
называется базисом пространства
n
R
, если каждый вектор из
пространства
n
R можно представить в виде линейной комбинации
векторов этой совокупности, т.е.
11 2 2 nn
x
xe xe x e
=
+++
r
rr r
K
.
Такое представление вектора называется
разложением его по
данному базису. Числа
12
,,,
n
x
xxK
называются координатами вектора в
этом базисе.
Теорема IV.1 Координаты вектора относительно некоторого базиса
12
,, ,
n
ee e
rr r
K
определяются единственным образом.
Доказательство:
Пусть имеется два разложения некоторого вектора
x
r
относительно
базиса
12
,, ,
n
ee e
rr r
K
:
11 2 2 nn
x
xe xe x e=+ ++
rr r r
K
11 2 2 nn
x
xe xe x e
′′ ′
=+ ++
rr r r
K
Вычитая из первого равенства второе, получим:
(
)
(
)
(
)
111 2 22
0
nnn
x
xe x xe x x e
′′ ′
=− +− ++−
r
rr r
K
.
Т.к. векторы
12
,, ,
n
ee e
rr r
K линейно независимы, то значит, что
коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями, т.е.
112 2
, , ,
nn
x
xx x x x
′′ ′
== =
K .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
