Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

39
Составим матрицу перехода
T
:
11 12 1
21 22 2
12
n
n
nn nn
T
τ
ττ
τ
ττ
τ
ττ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
K
KKKK
K
,
1
2
n
x
x
X
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
,
1
2
n
x
x
X
′
⎛⎞
⎜⎟
′
⎜⎟
′
=
⎜⎟
⎜⎟
′
⎝⎠
K
, тогда XTX
′
=
⋅ или обратное
соотношение
1
XT X
−
′
=⋅
.
Матрица
T
называется матрицей преобразования координат при
переходе от базиса
12
,, ,
n
ee e
rr r
K к базису
12
,,,
n
ε
εε
r
rr
K .
Пример. Координаты вектора
(
)
6;6;1x
=
r
даны в базисе
123
,,eee
rrr
.
Записать его координаты в базисе
5
112 3
6
ee e
ε
=
++
r
r
rr
,
212
5ee
ε
=− −
r
rr
,
3123
eee
ε
=− + +
r
rrr
.
Решение. Запишем матрицу перехода
5
6
151
111
01
T
−
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
. Строим
обратную матрицу
5
6
151
111 10
01
−−
Δ= − =− ≠
. Поэтому
1
111
66
525
66
156
2
4
T
−
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
.
Тогда
111
66
525
66
1566 3
26 8
41 16
x
−−
⎛⎞
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
′
=− ⋅=−
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠ ⎝ ⎠
⎝⎠
.
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Линейное пространство называется евклидовым, если в нем
определена операция, ставящая в соответствие любым двум элементам
x ∈
L и y∈L число, называемое скалярным произведением и
обозначаемое
(
)
x, y , для которого выполняется:
1.
(
)
(
)
x, y y,x= ;
2.
(
)
(
)
(
)
xy,z x,z y,z+= + ;
3.
(
)
(
)
x, y x, y
α
α
= ;
4.
(
)
x,x 0≥ , причем
(
)
x,x 0 x 0
=
⇔=.
Обозначается
n
E
.
Линейное пространство называется нормированным, если каждому
элементу x∈
L поставлено в соответствие неотрицательное число,
называемое его нормой
x. При этом выполняются аксиомы:
1. x0;x0 x0≥=⇔=;

Страницы