Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

41
Далее определим
3311 22
eee
ε
ββ
=
++
r
r
rr
, так чтобы
(
)
()
(
)
()
(
)
()
13
13 23
12
11 2 2
23
,0
,,
;
,,
,0
ee
ee
ee ee
ee
ε
ε
ββ
⎫
=
⎪
⇒=− =−
⎬
=
⎪
⎭
rr
rr
rr
rr rr
rr
. Остается только пронормировать
построенный базис:
0
1
1
1
e
e
e
=
r
r
r
,
0
2
2
2
e
e
e
=
r
r
r
,
0
3
3
3
e
e
e
=
r
.
Пример. Построим ортонормированный базис исходя из базиса
(
)
1
2;0;1e −
r
,
(
)
2
1; 1; 0e −
r
,
(
)
3
0;1; 2e
r
.
Решение.
(
)
11
2;0;1e
ε
==−
r
r
. Ищем
22 1
e
ε
αε
=
+
r
r
r
. Подберем
α
так,
чтобы
(
)
(
)
(
)
12 12 11
,, ,250ee ee
ε
εα α
=+ =−+=
rr
rr rr
. Получим
2
5
α
=
.
Ищем
33 1 2
e
ε
βε γε
=+ +
rrr
r
. Подбираем
β
и
γ
так, чтобы
(
)
(
)
(
)
()()
()
13 13 11
6
1
23 23 22
55
,, ,250
,, , 0
ee ee
e
εε β β
εε ε γεε γ
⎧
=+ =+=
⎪
⎨
=+ =−+=
⎪
⎩
rr
rr rr
rr r rr
r
. Отсюда
21
56
,
β
γ
=
−=.
Получаем
(
)
1
2;0;1
ε
=−
r
,
()
5
2
5
1
2
1,,
−
=
ε
r
,
(
)
3
5
6
5
6
5
3
,,
=
ε
r
.
Пронормируем
1
41 5
ε
=+=
r
,
(
)
0
21
1
55
,0,
ε
−
r
,
6
14
2
25 25 5
1
ε
=++=
r
,
(
)
0
5
12
2
30 30 30
,,
ε
−
r
и
25 25 25 5
3
36 36 9
6
ε
=++=
r
,
(
)
0
112
3
666
,,
ε
r
.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Если задан закон, который каждому вектору
x
∈
n
R
r
ставит в
соответствие вектор
y ∈
n
R
r
, то говорят, что в пространстве задан оператор
A, при это пишут: y =
r
A
x
r
.
Оператор
A называется линейным, если для любых
1
x ∈
n
R
r
и
2
x ∈
n
R
r
и произвольного числа
α
выполняются условия:
1. A
(
)
12
xx+=
rr
A
1
x
+
r
A
2
x
r
;
2. A
(
)
x
α
α
=
r
A
x
r
.
МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Рассмотрим в пространстве
n
R базис
12
,, ,
n
ee e
r
rr
K
, и пусть в этом
пространстве определен линейный оператор
A : y
=
r
A
x
r
. Разложим векторы
x
r
и y
r
по этому базису:
11 2 2 nn
x
xe xe x e=+ ++
rr r r
K
11 2 2 nn
yye ye ye=+ ++
rr r r
K .
В силу линейности оператора
A можно написать:
A
1
x
x=
r
A
12
ex+
r
A
2 n
ex
+
+
r
K
A
n
e
r
. Но каждый A
i
e
r
можно разложить по базису
12
,, ,
n
ee e
rr r
K , т.е.
A
11 2 2ii i nin
eaeae ae=+ ++
rrr r
K
(
)
1, 2, ,in
=
K .

Страницы