Составители:
Рубрика:
44
1
121 0 21 121 39 5
132 110 111 613 9
243 2 11201 92312
ATAT
−
−− −−−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
′
==−−⋅− ⋅−= −
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
−− − −
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
.
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Ненулевой вектор
x
r
называется собственным вектором линейного
оператора
A, если найдется такое число
λ
, что будет выполняться
равенство
A
x
=
r
x
λ
r
. При этом число
λ
называется собственным значением
(собственным числом) оператора A, соответствующим вектору
x
r
.
Множество всех собственных значений оператора
A называется его
спектром.
Для того, чтобы найти собственные значения и собственные векторы
линейного оператора A, рассмотрим матрицу линейного оператора A в
некотором базисе (3
n = ):
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
A
aaa
aaa
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Тогда в силу определения
(
)
00AX X AX EX A E X
λ
λλ
=⇒− =⇒− =.
Итак, дело свелось к решению системы линейных однородных
уравнений. Очевидно, что система имеет ненулевое решение, если
(
)
det 0AE
λ
−=.
Уравнение
(
)
det 0AE
λ
−= называется характеристическим
уравнением оператора A; многочлен
(
)
det
A
E
λ
−
называется
характеристическим многочленом оператора A. В координатной форме
характеристическое уравнение имеет вид:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0
aaa
aa a
aaa
λ
λ
λ
−
−
=
−
.
Теорема IV.3 Характеристический многочлен линейного оператора
не зависит от выбора базиса.
Доказательство:
Запишем характеристический многочлен в новом базисе
(
)
det 0AE
λ
′
−=
. Если известна матрица перехода от старого базиса к
новому
C , получим
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
