Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

45
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()()
()
() ( ) ( )
11 1
11
det det det
det det det det det det det
AE CACCEC CAEC
C AE C C C AE AE
λλ λ
λ
λλ
−− −
−−
′′ ′
−= − = − =
=−= −=−
.
Решая характеристическое уравнение, найдем собственные значения
оператора, а затем собственные векторы оператора.
Матрица линейного оператора принимает наиболее простой вид,
если в качестве базисных взять собственные векторы линейного оператора.
A
11 2 2ii i nin
eaeae ae=+ ++
rrr r
K
, но A
i
e
=
r
i
e
λ
r
.
Поэтому 0,
ij
aij
=
≠ и
ii i
a
=
, т.е. матрица является диагональной и
по диагонали стоят ее собственные значения.
Можно доказать теорему.
Теорема IV.4 Если линейный оператор имеет n различных
собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно
независимы и матрица этого оператора записанная в базисе состоящем из
собственных векторов имеет диагональный вид.
Пример. Найдем собственные значения и собственные векторы
оператора
148
474
841
A
−−
⎛⎞
⎜⎟
=− −
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
.
Решение. Запишем характеристическое уравнение
32
148
47 4 0, 9 81 7290
841
λ
λλλλ
λ
−−−
− − −= −−+=
−−−
и решим его
12
9
λ
λ
==,
3
9
λ
=− . Найдем собственные векторы для каждого собственного значения
12
9
λ
λ
==, матрица системы
()
848
424~212
848
−
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−−
⎜⎟
⎜⎟
−−−
⎝⎠
, тогда
1
2
12
1
10
01
Xc с
−−
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
,
3
9
λ
=− , матрица системы
10 4 8
141
416 4~
02 1
8410
−
−
⎛⎞
−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎜⎟
−−
⎝⎠
и
1
2
1
1
Xc
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА
Рассмотрим следующий вопрос: какими должны быть соотношения
между бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была

Страницы