Составители:
Рубрика:
48
(
)
12
,,,
T
n
x
xxXAXΦ=K , где
(
)
12
,,,
T
n
Xxx x= K . Вид матрицы квадратичной
формы определяется базисом, в котором задан вектор.
При невырожденном линейном преобразовании переменных
XCY= , где
(
)
ij
Cc= . Квадратичная форма принимает вид
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T
TTTTT
XAX CY ACY YC ACY Y CACYΦ= = = =
, т.е.
T
A
CAC
′
= .
При некоторых удачно выбранных преобразованиях вид
квадратичной формы можно существенно упростить.
Квадратичная форма называется
канонической, если 0,
ij
aij=≠, а ее
матрица является диагональной.
2
1
n
ii i
i
ax
=
Φ=
∑
.
Теорема IV.5 Любая квадратичная форма с помощью
невырожденного линейного преобразования переменных может быть
приведена к каноническому виду.
Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду,
следует перейти к базису собственных векторов матрицы квадратичной
формы
A
.
Если собственные числа матрицы
A
различны, то соответствующие
собственные векторы образуют ортогональный базис, который можно
нормировать. В этом ортонормированном базисе матрица квадратичной
формы будет иметь вид
1
2
00
00
00
n
A
λ
λ
λ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
K
K
KKKK
K
, где
12
,,,
n
λ
λλ
K – собственные числа.
Линейное преобразование, которое приводит матрицу квадратичной
формы к каноническому виду, имеет матрицу
H
. Матрица
H
, столбцами
которой являются координаты векторов ортонормированного базиса,
называется
ортогональной, а линейное преобразование с такой матрицей –
ортогональным преобразованием. Можно показать, что для ортогональной
матрицы выполняется соотношение
TT
H
HH E
=
, что означает
1 T
H
H
−
= .
Пример. Привести квадратичную форму
(
)
222
123 1 2 3 12 13 23
,, 5 2 6 2
x
xx x x x xx xx xxΦ=+++++ к каноническому виду.
Решение. Запишем матрицу квадратичной формы
113
151
311
A
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Найдем ее собственные числа
1
2
λ
=
− ,
2
6
λ
=
,
2
3
λ
=
. В базисе собственных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
