Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Кузнецова С.Н - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

Университет ИТМО | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

58
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если 0D = , то уравнение принимает вид 0
A
xByCz
+
+=. Этому
уравнению удовлетворяет точка
(
)
0,0,0O . Плоскость проходит
через начало координат.
2. Если 0C = , то уравнение принимает вид 0
A
xByD
+
+=.
Нормальный вектор
(
)
,,0nAB
=
r
перпендикулярен оси
Oz .
Следовательно, плоскость параллельна оси
Oz ; если 0
= —
параллельна оси
Oy , если 0
A
=
— параллельна оси Ox .
3. Если 0CD==, то плоскость проходит через
(
)
0,0,0O параллельно
оси
Oz , т.е. проходит через ось Oz . Аналогично с другими осями.
4. Если 0
A
B==, то уравнение принимает вид 0Cz D
+
= или
D
z
C
=− .
Плоскость параллельна плоскости
Oxy . Аналогично с другими
плоскостями.
5. Если 0
A
BD===, то уравнение принимает вид 0Cz = или 0z = .
Это уравнение плоскости
Oxy . Аналогично с другими плоскостями.
Через три точки пространства, не лежащие на одной прямой,
проходит единственная плоскость. Найдем уравнение плоскости
Q ,
проходящей через точки
(
)
1111
,,
M
xyz ,
(
)
2222
,,
M
xyz и
(
)
3333
,,
M
xyz .
Возьмем произвольную точку
(
)
,,
M
xyz на плоскости и составим векторы
(
)
1111
,
M
Mxxyyzz=− − −
uuuuur
,
(
)
12 2 12 12 1
,,
M
Mxxyyzz=− − −
uuuuuur
,
(
)
13 3 13 13 1
,,
M
Mxxyyzz=− − −
uuuuuur
. Эти векторы лежат в плоскости
Q ,
следовательно, они компланарны. Запишем условие компланарности трех
векторов (смешанное произведение равно нулю):
111
21 2121
31 3 131
0
xx yy zz
xxyyzz
xxyyzz
−−−
−−−=
−−−
. Т.о. это уравнение плоскости проходящей
через три точки.
Пусть плоскость отсекает на осях
Ox , Oy и Oz соответственно
отрезки
,,abc
, т.е. проходит через точки
(
)
(
)
(
)
,0,0 , 0, ,0 , 0,0,
A
aBbCc.
Подставляя координаты точек в предыдущее уравнение, получим
00
0
xa yz
ab
ac
−
−=
−
.
Раскрыв определитель, получим
bcx acy abz abc
+
+= или
1
x
yz
abc
++= уравнение плоскости в отрезках.

Страницы