Составители:
Рубрика:
60
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
Положение прямой в пространстве определено, если задана какая-
либо точка
(
)
0000
,,
M
xyz на прямой и вектор
(
)
,,Smnp=
r
, параллельный
этой прямой — направляющий вектор.
Возьмем на прямой произвольную точку
(
)
,,
M
xyz. Обозначим
радиус-векторы точек
0
M
и
M
соответственно
0
r
r
и r
r
. Очевидно, что
00
rr MM=+
uuuuur
rr
, но
0
M
MtS=
uuuuur
r
, где t — числовой множитель, называемый
параметром. Окончательно запишем
0
rrtS
=
+
r
r
r
. Это уравнение называется
векторным уравнением прямой.
Замечая, что
(
)
,,rxyz=
r
,
(
)
0000
,,rxyz
=
r
,
(
)
,,tS tm tn tp=
r
, векторное
уравнение прямой можно записать в виде
(
)
(
)
(
)
000
x
i yj zk x tm i y tn j z tp k++= + + + + +
rr
rr r r
. Отсюда следуют
равенства:
0
x
xtm=+
,
0
yy tn
=
+
,
0
zz tp
=
+
. Они называются
параметрическими уравнениями прямой.
Векторы
0
M
M
uuuuur
и S
r
коллинеарные, значит их координаты
пропорциональны:
000
x
xyyzz
mn p
−−−
==
. Это уравнение называют
каноническим уравнением прямой.
Замечание. Обращение в ноль одного из знаменателей означает
обращение в ноль соответствующего числителя.
Пусть прямая проходит через точки
(
)
1111
,,
M
xyz ,
(
)
2222
,,
M
xyz . В
качестве направляющего вектора можно взять вектор
(
)
12 2 12 12 1
,,SMM x xy yz z==−−−
uuuuuur
r
, следовательно
21
mx x
=
− ,
21
ny y=−,
21
p
zz=−. Согласно уравнению, можно записать
111
21 21 1
x
xyyzz
x
xyyzz
−
−−
==
−
−−
,
уравнение прямой, проходящей через две точки.
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух
непараллельных плоскостей:
11 1 1
22 2 2
0
0
Ax By Cz D
Ax By Cz D
+
++=
⎧
⎨
+
++=
⎩
Это
общее уравнение прямой. От него можно перейти к
каноническому уравнению. Координаты точки
0
M
получаем из системы
уравнений, придав одной переменной произвольное значение (например,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
